СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505755

В пря­мой кру­го­вой конус впи­сан шар. От­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара равно 49 : 12. Найти от­но­ше­ние удво­ен­но­го объем шара к объ­е­му ко­ну­са.

Ре­ше­ние.

Пусть — осе­вое се­че­ние ко­ну­са, О — центр шара, впи­сан­но­го в этот конус, E — точка ка­са­ния шара и ко­ну­са.

Из усло­вия за­да­чи сле­ду­ет, что — рав­но­бед­рен­ный (AB = BC). Оче­вид­но, что точка О лежит на бис­сек­три­се ко­то­рая также слу­жит ме­ди­а­ной и вы­со­той

Вве­дем обо­зна­че­ния:

l — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са (от­рез­ки AB и BC); R — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са (от­ре­зок AD); H — вы­со­та ко­ну­са (от­ре­зок BD); r — ра­ди­ус шара (от­ре­зок OE); — пло­щадь сферы (пло­щадь по­верх­но­сти шара); — пол­ная по­верх­ность ко­ну­са; — объем шара; — объем ко­ну­са.

Оче­вид­но, что Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки BEO и BDA с общим ост­рым углом OBE. От­сю­да: т. е.

 

Най­дем от­но­ше­ние объ­е­ма шара к объ­е­му ко­ну­са:

Те­перь най­дем от­но­ше­ние пло­ща­ди по­верх­но­сти шара к пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са:

Од­на­ко, ока­за­лось, что Зна­чит,

По­сколь­ку нам тре­бу­ет­ся найти от­но­ше­ние удво­ен­но­го объ­е­ма шара к объ­е­му за­дан­но­го ко­ну­са, то таким от­но­ше­ни­ем будет 24 : 49.

 

Ответ: 24 : 49.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.
Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Комбинации круглых тел, Конус, Объем тела, Шар