СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505767

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена высота SD. На отрезке SD взята точка K так, что SK : KD = 1 : 2. Известно, что двугранные углы между основанием и боковыми гранями равны 30 градусов, а расстояние от точки K до бокового ребра равно Найти объём пирамиды.

Решение.

Обозначим Тогда апофема пирамиды имеет длину а тогда высота пирамиды

Заметим далее, что

Запишем теперь теорему Пифагора для треугольника SDA. Получим то есть Поэтому

Ясно, что C другой стороны, посчитав площадь треугольника SAD двумя способами, мы получаем откуда

Наконец,

 

Ответ: 216.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Правильная треугольная пирамида