≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505771

В бесконечной последовательности a1, a2, a3, ... число a1 равно 1, а каждое следующее число an строится из предыдущего an – 1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то an = an – 1 + 1, если же остаток равен 3, то an = an – 1 – 1. Докажите, что в этой

последовательности

а) число 1 встречается бесконечно много раз;

б) каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.

(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ... .)

Решение.

а) Пусть Тогда Заметим, что Отсюда

 

(выражения в скобках равны нулю).

Поэтому следовательно, Поэтому единиц в последовательности бесконечное число.

б) Согласно а) Это значит, что члены с индексами, кратными 4, могут быть сколь угодно большими. (Мы можем увеличивать их на двойку столько, сколько нужно). Теперь утверждение задачи следует из п. а) и дискретной непрерывности.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.