СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505811

Дан квадрат ABCD со стороной 7. На сторонах BC и CD даны точки M и N такие, что периметр треугольника CMN равен 14.

а) Докажите, что B и D — точки касания вневписанной окружности треугольника CMN, а её центр находится на вершине A квадрата ABCD.

б) Найдите угол MAN.

Решение.

а) Обозначим тогда Отметим на MN точку T такую, что На продолжении CB а точку B отметим точку K так, чтобы Тогда

Треугольники ABK и ADN равны по двум катетам, следовательно,

Значит, треугольники AKM и ANM равны по трем сторонам. Тогда поэтому A лежит на биссектрисе угла KMN.

Очевидно, A лежит также на биссектрисе угла MCN — диагонали квадрата. Значит, A — центр вневписанной окружности. При этом поэтому B и D — точки касания.

б) Заметим, что треугольники ABM и ATM равны по двум сторонам и углу между ними ( AM — общая). Значит, Кроме того, Тогда треугольники TNA и DNA равны по катету и гипотенузе, поэтому

Следовательно,

 

Ответ: 45°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 76.
Классификатор планиметрии: Многоугольники