СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505813

Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения

конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите:

а) наименьшее такое число,

б) все такие числа.

Решение.

1) Пусть через минут на ленте лежат деталей типа и деталей типа Так как и имеют разную четность, то может принимать только значения 1, 3, 5. Так как каждую минуту добавляется деталь того типа, которого на ленте меньше, а убирается произвольная деталь, то либо не изменяется, либо уменьшается. Так как по условию исходное расположение повторяется через минут (а значит, и через и т. д.), то получаем, что величина не изменяется при всех

2) Допустим, что Так как не изменяется, а и могут меняться только на 1, то и также не изменяются. Тогда добавляется всегда деталь одного и того же типа и при этом деталь того же типа всегда снимается. Это означает, что исходно на ленте все детали одного типа и деталь того же типа добавляется. Это противоречит правилу подготовки следующей детали. Следовательно, при всех

3) Пусть — типы деталей ( или ), которые стояли исходно на конвейере и добавлялись в последующие моменты. Мы показали, что при любом среди 38 раз встречается и 37 раз встречается и тогда либо все наоборот. В любом случае при каждом среди и встречаются по 38 раз.

4) Так как среди и встречаются по 38 раз и среди и встречаются по 38 раз, то (при каждом ). Таким образом 76 – период последовательности

5) Пусть через минут ситуация на конвейере впервые повторилась. Тогда — период последовательности Обратно, если — период этой последовательности, то через q минут ситуация на конвейере повторяется. Следовательно, — минимальный период последовательности

6) Известно (и легко показать), что минимальный период является делителем любого периода. Следовательно, 76 делится на n , то есть период длины n укладывается целое число раз на отрезке последовательности длины 76. Так как на любом отрезке длины 76 детали и встречаются одинаковое число раз, то это же верно и для периода длины Отсюда следует, что — четное число и возможно только

7) Пусть и 76 делится на Построим бесконечную последовательность, в которой сначала раз стоит затем раз стоит и затем все повторяется с периодом Эта последовательность будет порождаться в нашей задаче, если в качестве исходного расположения деталей на конвейере взять первые 75 элементов последовательности, причем впервые исходная ситуация повторится ровно через минут. Таким образом, все значения могут реализоваться.

 

Ответ: a) 2; б) 2, 4, 38, 76.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 76.