Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505829

В треугольнике ABC известны стороны AB = 4, AC= корень из { 17} и BC = 5. На стороне AB взята точка D такая. что AD = 1.

а) Докажите, что CD и AB перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между центрами окружностей. описанных около треугольников BDC и ADC.

Решение.

а) По теореме косинусов в треугольнике BAC имеем 25=16 плюс 17 минус 8 корень из { 17} косинус A, откуда  косинус A= дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 17 }.

По теореме косинусов в треугольнике ADC имеем DC в степени 2 =1 плюс 17 минус 2=16, откуда DC=4 и по теореме, обратной к теореме Пифагора, треугольник ADC прямоугольный.

б) Поскольку оба треугольника ADC и BDC — прямоугольные, их центры описанных окружностей совпадают с серединами их гипотенуз. Поэтому искомое расстояние — длина средней линии треугольника ABC, и равно  дробь, числитель — AB, знаменатель — 2 =2.

 

Ответ: 2.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 79.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Треугольники