СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505831

Два шахматиста играют между собой в шахматы с часами (сделав ход, шахматист останавливает свои часы и пускает часы другого). Известно, что после того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих шахматистов показывали одно и то же время: 2 часа 30 мин.

а) Докажите, что в ходе партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого не менее, чем на 1 мин. 51 сек.

б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была равна 2 мин.?

Решение.

а) Заметим, что партия продолжалась 5 часов, а 1 минута 51 секунда — это минуты. Обозначим это время за Пусть модуль разности показаний часов в любой момент меньше Тогда время, затраченное первым шахматистом на первый ход, меньше а каждым шахматистом на любой следующий ход — меньше Стало быть, общая длительность партии меньше минут, то есть меньше 5 часов. Противоречие.

б) Приведём пример партии, в которой модуль разности показаний часов всё время был меньше 2 мин. Пусть на первый ход первый шахматист потратил мин, а далее каждый из шахматистов тратил на свой ход время кроме последнего хода второго, на который было потрачено время Тогда после 40 ходов часы каждого показывали Это и есть 2 часа 30 минут. При этом в каждый момент разность показаний, очевидно, не превосходила то есть была меньше двух минут.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 79.