Даны натуральные числа 
и 
такие, что 
Среднее арифметическое этих чисел делится на 13.
а) Найдите наименьшую сумму 
такую, что она является квадратом натурального числа.
б) Найдите наибольшее число c, если 
а сумма имеет наименьшее значение.
в) Найдите наименьшее число b, если числа c, b и a в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию с разностью n.
г) Известно, что числа c, b и a в указанном порядке составляют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью n. Найдите наименьшее n, при котором число c будет наименьшим, и все члены арифметической прогрессии будут являться квадратами натуральных чисел.
а) По условию, 
где k — натуральное число. Значит, 
Таким образом, сумма является точным квадратом и делится на 
Поэтому минимальное возможное значение 
б) Из пункта а) получаем, что 
Если сумма минимальна, то и сумма 
минимальна, значит, 
По условию, 
поэтому 
Искомое наибольшее значение c = 3.
в) По условию, 
а из того, что 
— арифметическая прогрессия, следует равенство 
Значит, 
Число b должно быть минимально, поэтому 
г) Пусть 
тогда 
Из предыдущего пункта следует, что q кратно 13. Если разность прогрессии n наименьшая и её первый член c при этом минимален, то и второй член прогрессии b минимален. Значит, он равен 169, и тогда 
Подбором получаем, что единственная пара чисел 
такая, что 
и удовлетворяющая последнему равенству, это пара 
Тогда получаем, что 
Ответ: а) 1521; б) 3; в) 13; г) 120.
Примечание.
Задание г) имеет два различных прочтения: найти наименьшее возможное n, при котором будут выполнены остальные требования условия, или найти наименьшее возможное c, при котором будут выполнены остальные требования. Выше приведено решение первой из этих задач: из решения следует, что наименьшее возможное n равно 120, при этом числа, составляющие прогрессию, суть 49, 169 и 289. Решение второй задачи — поиска наименьшего возможного с — очевидным образом сводится к рассмотрению наименьшего натурального числа с = 1 и отысканию для этого с наименьшего значения n, обеспечивающего выполнение оставшихся требований. Иными словами, пусть 
тогда 
и необходимо найти натуральные решения полученного уравнения, зная, что 
делится на 13.
Можно показать (указания о том, как это сделать, приведены в статье В. А. Сендерова и А. В. Спивака «Уравнения Пелля» в журнале «Квант» (№ 3, 2002 год), что все решения уравнения 
даются тривиальным решением 
и рекуррентными формулами 
то есть являются множеством упорядоченных пар
Среди этих пар найдем ту, которая содержит наименьшее кратное 13 значение q: это 
Тогда описанную в условии прогрессию составляют числа 1, 1692, 2392, а её искомая разность 
Здравствуйте!
Мне представляется, что ответ на пункт г) не отвечает на поставленный вопрос. Ведь минимальность n условная, а минимальность c безусловная. Возможно, существуют такие n, при которых c = 1 и выполнены прочие условия задачи. Согласно смыслу вопроса, нужно выбрать самое малое из таких n.
При таком понимании условия задание становится олимпиадным и потому не соответствует формату ЕГЭ: для его решения необходимы знания, не входящие в школьную программу. Но мы с вами согласны. В примечании привели схему решения для этого случая.