Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505897

В параллелограмме ABCDдиагонали пересекаются в точке О, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 5. Найти площадь параллелограмма ABCD.

Решение.

Пусть {{O}_{1}} — центр окружности, описанной около треугольника АОВ, {{O}_{2}} — около треугольника ВОС, {{O}_{3}} — около треугольника СOD, {{O}_{4}} — около треугольника AOD. И пусть \angle AOB =\varphi,0 в степени circ меньше \varphi меньше 180 в степени circ.

По способу построения окружности, описанной около треугольника:

{{O}_{1}}{{O}_{2}} \bot DO, {{O}_{2}}{{O}_{3}} \bot AO,{{O}_{3}}{{O}_{4}}\bot DO,{{O}_{1}}{{O}_{4}}\bot AO.

Следовательно, четырехугольник {{O}_{1}}{{O}_{2}}{{O}_{3}}{{O}_{4}} — параллелограмм, \angle {{O}_{1}}{{O}_{2}}{{O}_{3}}=\angle AOB=\varphi . Ясно, что также \angle {{O}_{1}}{{O}_{4}}{{O}_{3}}=\varphi .

Проведем из точки {{O}_{3}} перпендикуляр к {{O}_{1}}{{O}_{4}}. Основание перпендикуляра обозначим К. Так как АО = СО, {{O}_{1}}{{O}_{4}},{{O}_{2}}{{O}_{3}} — серединные перпендикуляры к отрезкам АО и СО, то {{O}_{3}}K=AO.

В прямоугольном треугольнике {{O}_{3}}K{{O}_{4}}: {{O}_{3}}K={{O}_{3}}{{O}_{4}} умножить на синус \varphi . Значит, AO={{O}_{3}}{{O}_{4}} умножить на синус \varphi, т. е AO=16 синус \varphi .

В треугольнике АВО по теореме синусов  дробь, числитель — AB, знаменатель — синус \varphi =2R, где R=5. Следовательно, AB=10 синус \varphi . ВО = 6.

По теореме косинусов: A{{B} в степени 2 }=A{{O} в степени 2 } плюс B{{O} в степени 2 } минус 2AO умножить на BO умножить на косинус \varphi , т. е. 100{{ синус } в степени 2 }\varphi =256{{ синус } в степени 2 }\varphi плюс 36 минус 192 синус \varphi умножить на косинус \varphi , 156{{ синус } в степени 2 }\varphi минус 192 синус \varphi умножить на косинус \varphi плюс 36=0. Разделим обе части равенства на 12{{ синус } в степени 2 }\varphi ( синус \varphi не равно 0). Получим:

13 минус 16\ctg\varphi плюс дробь, числитель — 3, знаменатель — {{ синус в степени 2 }\varphi }=0 равносильно 13 минус 16\ctg\varphi плюс 3 плюс 3\ctg в степени 2 \varphi =0 равносильно 3\ctg в степени 2 \varphi минус 16\ctg\varphi плюс 16=0 равносильно

 равносильно \ctg\varphi = дробь, числитель — 8\pm корень из { 64 минус 48}, знаменатель — 3 равносильно \ctg\varphi = дробь, числитель — 8\pm 4, знаменатель — 3 равносильно \ctg\varphi = дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 или c\operatorname{tg}\varphi =4.

Найдем  синус \varphi :

{{ синус } в степени 2 }\varphi = дробь, числитель — 1, знаменатель — 1 плюс \ctg в степени 2 }\varphi }.{{ синус } в степени 2 }\varphi = дробь, числитель — 1, знаменатель — 1 плюс дробь, числитель — 16 {9, знаменатель — } = дробь, числитель — 9, знаменатель — 25 .

S(ABCD)=AO умножить на BD умножить на синус \varphi =16 синус \varphi умножить на 12 умножить на синус \varphi = дробь, числитель — 16 умножить на 12 умножить на 9, знаменатель — 25 = дробь, числитель — 1728, знаменатель — 25 ,

{{ синус } в степени 2 }\varphi = дробь, числитель — 1, знаменатель — 17 ;S(ABCD)=AO умножить на BD умножить на синус \varphi =16 синус \varphi умножить на 12 умножить на синус \varphi = дробь, числитель — 16 умножить на 12, знаменатель — 17 = дробь, числитель — 192, знаменатель — 17 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 1728, знаменатель — 25 или  дробь, числитель — 192, знаменатель — 17 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 9.
Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники, Окружности