СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505899

Инспектор ДПС майор Худаков получил указание начальства останавливать те автомобили, трехзначный госномер которых n удовлетворяет следующим требованиям: если выписать все целые числа от 1 до n и посчитать количество записанных цифр, то получится число, записанное теми же цифрами, что и n, но в обратном порядке. Сначала майор попробовал выполнять требуемые вычисления для каждого автомобиля в режиме реального времени мелом на асфальте, но мел скоро закончился. Помогите майору определить номера нужных автомобилей.

Решение.

Посчитаем количество цифр, которые потребуются для записи всех чисел от 1 до где — трехзначное. Это количество равно так как надо записать 9 однозначных, 90 двузначных и — 99 трехзначных чисел.

Пусть десятичная запись числа такая: Тогда из условия получим уравнение:

Упростим: Отсюда где — целое число. Так как и цифры, то может быть равно только −1, 0 или 1.

Разберем случаи:

1) Тогда уравнение (1) можно переписать так:

Ясно, что это уравнение не имеет решения в натуральных числах.

2) Тогда уравнение (1) можно переписать так: Сократим на 20, получим: Отсюда

3) Тогда уравнение (1) можно переписать так:

Разделим на 10, получим: Левая часть четная, правая — нечетная. Значит, этот случай невозможен.

 

Ответ: такой номер один — 153.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 9.