Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505961

В правильной призме ABC{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} со стороной основания, равной 1 плюс корень из { 3} и высотой, равной 2, проведено сечение через прямую BC, которое делит призму на 2 многогранника равных объемов. Найти площадь сечения.

Решение.

Решение:

Сечение — равнобедренная трапеция B{{D}_{1}}{{E}_{1}}C.

Рассмотрим усеченную пирамиду ABC{{A}_{1}}{{D}_{1}}{{E}_{1}}, с основаниями: \Delta ABC и \Delta {{A}_{1}}{{D}_{1}}{{E}_{1}}.

Пусть S(ABC)={{t} в степени 2 }, тогда объем призмы V=2{{t} в степени 2 } (здесь 2 — высота призмы, следовательно, и усеченной пирамиды).

И пусть {{V}_{1}} — объем названной усеченной пирамиды. Тогда {{V}_{1}}={{t} в степени 2 }.

По формуле объема усеченной пирамиды будем иметь: {{t} в степени 2 }= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 левая круглая скобка {{t} в степени 2 } плюс корень из { {{t} в степени 2 }S} плюс S правая круглая скобка , где 2 — высота усеченной пирамиды, S — площадь его верхнего основания. Очевидно, что S меньше {{t} в степени 2 }, корень из { S} меньше t.

3{{t} в степени 2 }=2{{t} в степени 2 } плюс 2t корень из { S} плюс 2S или 2S плюс 2t корень из { S} минус {{t} в степени 2 }=0.

 

Решим последнее уравнение относительно  корень из { S}.

 корень из { S}= дробь, числитель — минус t\pm корень из { {{t} в степени 2 } плюс 2{{t} в степени 2 }}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — минус t\pm t корень из { 3}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — t умножить на ( корень из { 3}\pm 1), знаменатель — 2 .

Поскольку  корень из { S} меньше t, то найденный корень  дробь, числитель — t умножить на ( корень из { 3} плюс 1), знаменатель — 2 не подойдет. Следовательно,  корень из { S}= дробь, числитель — t умножить на ( корень из { 3} минус 1), знаменатель — 2 , S= дробь, числитель — {{t} в степени 2 } умножить на {{( корень из { 3} минус 1)} в степени 2 }, знаменатель — 4 .

Очевидно, что \Delta {{A}_{1}}{{D}_{1}}{{E}_{1}} ~ \Delta ABC с некоторым коэффициентом k.

Тогда {{k} в степени 2 }= дробь, числитель — S, знаменатель — S(ABC) = дробь, числитель — {{( корень из { 3} минус 1)} в степени 2 }, знаменатель — 4 , {{k} в степени 2 }= дробь, числитель — S, знаменатель — S(ABC) = дробь, числитель — корень из { 3} минус 1, знаменатель — 2 .

AD={{D}_{1}}{{E}_{1}}=k умножить на BC= дробь, числитель — корень из { 3} минус 1, знаменатель — 2 умножить на левая круглая скобка корень из { 3} плюс 1 правая круглая скобка = дробь, числитель — 3 минус 1, знаменатель — 2 =1.

Заметим также, что {{A}_{1}}{{D}_{1}}=AD={{D}_{1}}{{E}_{1}}=1. BD=AB минус AD= корень из { 3}.

B{{D}_{1}}= корень из { B{{D} в степени 2 } плюс D{{D}_{1}} в степени 2 }= корень из { 3 плюс 4}= корень из { 7}. BK= дробь, числитель — BC минус {{D}_{1}, знаменатель — {E _{1}}}{2}= дробь, числитель — корень из { 3} плюс 1 минус 1, знаменатель — 2 = дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 .

{{D}_{1}}K= корень из { B{{D}_{1}} в степени 2 минус B{{K} в степени 2 }}= корень из { 7 минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 }= корень из { дробь, числитель — 25, знаменатель — 4 }= дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 . S(B{{D}_{1}}{{E}_{1}}C)= дробь, числитель — {{D}_{1}, знаменатель — {E _{1}} плюс BC}{2} умножить на {{D}_{1}}K= дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — корень из { 3} плюс 1 плюс 1, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 5 умножить на (2 плюс корень из { 3}), знаменатель — 4 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 5 умножить на (2 плюс корень из { 3}), знаменатель — 4 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 20.
Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Правильная треугольная призма, Сечение -- трапеция