Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505963

Площадь равнобедренной трапеции равна  корень из { 3}. Угол между диагональю и основанием на 20 градусов больше угла между диагональю и боковой стороной. Найдите острый угол трапеции, если ее диагональ равна 2.

Решение.

Пусть в равнобедренной трапеции ABCD (BC меньше AD) проведена высота BH. Обозначим BH=x, DH=y. Тогда BC плюс HA=y, BC плюс DA=2y, S_{ABCD}=xy= корень из { 3}. Кроме того, x в степени 2 плюс y в степени 2 =DH в степени 2 плюс BH в степени 2 =BD в степени 2 =4. Тогда (x плюс y) в степени 2 =4 плюс 2 корень из { 3}, x плюс y=1 плюс корень из { 3} и по теореме, обратной к теореме Виета, получаем x=1,  y= корень из { 3} или x= корень из { 3}, y=1. Тогда угол между диагональю и основанием равен 30° или 60°.

Если  \angle BDA=30 в степени circ, то  \angle BDC=10 в степени circ, и  \angle ADC=40 в степени circ. В этом случае AD — большее основание.

Если  \angle BDA=60 в степени circ, то  \angle BDC=40 в степени circ, и  \angle ADC=100 в степени circ. В этом случае AD — меньшее основание, а острый угол трапеции равен  180 в степени circ минус 100 в степени circ=80 в степени circ.

 

Ответ: 40°; 80°

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 20.
Классификатор планиметрии: Многоугольники