≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505965

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, … выбрать (сохраняя порядок)

а) сто чисел,

б) бесконечную последовательность чисел, из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих

Решение.

а) Построим подпоследовательность следующим образом: рассмотрим сто первых различных чисел Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, … Если записать их в обратном порядке, то для них верно требуемое в условии равенство. Теперь разделим каждое из них на наименьшее общее кратное всех ста чисел. Тогда получатся члены данной последовательности (ясно, что после сокращения числители дробей будут равны единице), удовлетворяющие нужному условию.

б) Рассмотрим равенство: где – натуральные. Разложим на простые множители и рассмотрим один из множителей Пусть где и не делятся на Тогда где — некоторое натуральное число, а — бо́льшее из чисел и Тогда ясно, что в разложение числа c на простые множители число входит в степени не большей, чем степень этого множителя в разложениях и Пусть — первые два числа подпоследовательности, которую мы строим. Разложим на простые множители Тогда в последующих знаменателях будут содержаться только те простые множители, которые есть в и и в степенях, не бо́льших, чем в и Таким образом, мы сможем построить лишь конечное число членов подпоследовательности.

 

Ответ: а) да; б) нет.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20.