СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 506033

Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение длины высоты пирамиды к длине бокового ребра.

Решение.

Решение:

Пусть — заданная пирамида, О — центр основания. Тогда — высота пирамиды. И пусть для определенности плоскость сечения проходит через точку B — вершину основания, перпендикулярно ребру

Построим сечение. Проведем последовательно:

1)

2)

3) Отрезки:

Докажем, что — сечение, удовлетворяющее условию задачи.

Во-первых, точки лежат в одной плоскости, так как эта плоскость проходит через две пересекающиеся прямые и

Во-вторых, докажем, что

по способу построения. так как — наклонная к плоскости основания пирамиды, — ее проекция, по свойству квадрата; по теореме о трех перпендикулярах.

Поскольку то

Итак, прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и , лежащим в плоскости По признаку перпендикулярности прямой и плоскости

Пусть Тогда в равнобедренном треугольнике — биссектриса, следовательно, Искомое отношение

В прямоугольных треугольниках и как вертикальные. Отсюда: Пусть тогда

В

Рассмотрим и Поскольку то эти треугольники подобны. Отсюда: т. е.

Для вычисления площади сечения докажем, что его диагонали взаимно перпендикулярны, т. е. значит,

— наклонная к (), — ее проекция, из перпендикулярности и по теореме о трех перпендикулярах следует, что В таком случае:

 

По условию известно, что

Следовательно,

 

Причем потому не удовлетворяет смыслу задачи, Найденное значение и есть искомое отношение.

Замечания:

1. Запись в построении сечения «» следует читать так:

«Строим точку на прямой , такую, что перпендикулярно , точкой пересечения и служит точка ». Остальные записи читаются аналогично.

2. Известно, что прямая, параллельная какой-либо стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный первому.

3. В подобных треугольниках отношение любых соответственных линейных элементов (биссектрис, медиан, периметров и т. п.) равно коэффициенту подобия.

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 32.
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой