СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 506055

Тридцать три богатыря нанялись охранять Лукоморье за 240 монет. Хитрый дядька Черномор может разделить богатырей на отряды произвольной численности (или записать всех в один отряд), а затем распределить все жалование между отрядами. Каждый отряд делит свои монеты поровну, а остаток отдает Черномору. Какое наибольшее количество монет может достаться Черномору, если:

а) жалование между отрядами Черномор распределяет как ему угодно;

б) жалование между отрядами Черномор распределяет поровну?

Решение.

а) Остаток всегда меньше делителя, поэтому с отряда в N богатырей Черномор не сможет получить максимум N − 1 монету. Если отрядов K, то Черномор получит не более 33 – K монет. Пусть отряд всего один. Тогда Черномор получит только 9 монет, так как 240 = 33 · 7 + 9. Значит, 32 монеты получить не удается. Покажем, как получить 31 монету.

Пусть Черномор разделил богатырей на два отряда: 32 богатыря и один богатырь. Первому отряду Черномор отдает 63 монеты, и получает 31 монету. А остальные 177 монет получает оставшийся богатырь.

б) Чтобы получить 31 монету, Черномор должен разделить рыцарей на два отряда и выдать каждому отряду по 120 монет. При этом, с отряда в N человек он должен получить N − 1 монету. Но тогда 121 делится на N. Значит, N может равняться только 1, 11 или 121. Но из двух таких чисел не составить 33.

Покажем, как получить 30 монет. Пусть, например, в одном отряде 27 богатырей, а в двух других — по три. Тогда Черномор раздает каждому отряду по 80 монет. В итоге с первого отряда он получит назад 26 монет, а с каждого из оставшихся – по две монеты. В итоге получается 30 монет.

 

Ответ: а) 31; б) 30.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 35.