В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.
а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие пять мальчиков и три девочки?
б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников девять?
в) Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если известно, что их в 9 раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в четыре раза больше очков, чем девочки?
а) Каждая из трёх девочек могла выиграть оба раза у всех пяти мальчиков, получив по 10 очков; итого 30 очков. Сыграв шесть партий друг с другом, три девочки распределили между собой ещё 6 очков. Всего 36 очков.
б) Играя по две партии каждый с каждым, девять детей играют всего 
партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 72 очка.
в) Пусть в турнире принимали участие d девочек. Тогда всего детей было 
играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой 
партий и разыграли 
очков. Из них у мальчиков четыре пятых, а у девочек — одна пятая общего количества очков, то есть у девочек
очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум 
очков, а играя между собой, девочки распределили 
очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно 
Тем самым, имеем: 
Следовательно, девочек не могло быть больше одной.
Если девочка была одна, то мальчиков было девятеро. Десять ребят 90 партий и разыграли 72 очка. Девочка набрала 18 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 72 очка.
Ответ: а) 36; б) 72; в) 1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — Обоснованное решение п. а; — обоснованное решение п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |