Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 507350

Окружности радиусов 1 и 4 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2  — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2 = 60°. Найдите AB.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что точки О1, О2 и C лежат на одной прямой.

Возможны два случая. Первый случай: точки A и B лежат по одну сторону от прямой O1O2 (рис. 1). Отрезок MA параллелен прямой O1O2 (точка M принадлежит радиусу BO2), следовательно, O1O2MA  — параллелограмм: AM = O1O2 = 5, O1A = O2M = 1, ∠O2MA = ∠AO1O2 = 60°.

В треугольнике AMB имеем MB = 3, AM = 5, ∠AMB = 120°, откуда

AB= корень из AM в квадрате плюс MB в квадрате минус 2 умножить на AM умножить на MB умножить на косинус \angle AMB=7.

Второй случай: точки A и B лежат по разные стороны от отрезку O1O2 (рис. 2). Отрезок AM параллелен прямой O1O2 (точка M лежит на продолжении радиуса BO2 за точку O2), следовательно, O1O2MA  — параллелограмм: AM = O1O2 = 5, O1A = O2M = 1, ∠O2MA = ∠AO1O2 = 60°.

В треугольнике AMB имеем MB = 5, AM = 5, ∠AMB = 60°, значит, треугольник AMB  — правильный, откуда AB = 5.

 

Ответ: 7 или 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 501712: 507350 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Сибирь. Вариант 302.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей