Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 507381

Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Обе окружности лежат по одну сторону от общей касательной. Третья окружность касается обеих окружностей и их общей касательной. Найдите радиус третьей окружности.

Спрятать решение

Решение.

Докажем сначала следующее утверждение. Если a — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R, ar + R, общая внешняя касательная касается окружностей в точках A и B, то

AB= корень из (a в квадрате минус (R минус r) в квадрате ) .

Действительно, пусть O1 и O2 — центры окружностей радиусов r и R соответственно (см. рис.). Из точек O1 и O2 опустим перпендикуляры O1Q на прямую O2B. Из прямоугольного треугольника O1QO2 находим, что

AB=O_1Q= корень из (O_1O_2 в квадрате минус QO_2 в квадрате ) = корень из (a в квадрате минус (R минус r) в квадрате ) .

Пусть x — радиус третьей окружности, C — её точка касания с прямой AB. по доказанному:

AB= корень из (17 в квадрате минус (9 минус 1) в квадрате ) =15,AC= корень из ((x плюс 1) в квадрате минус (x минус 1) в квадрате ) =2 корень из (x) ,

BC= корень из ((x плюс 9) в квадрате минус (x минус 9) в квадрате ) =2 корень из (9x) =6 корень из (x) .

Возможны четыре случая.

1. Если точка C лежит между A и B (см. рис.), то AC + CB = AB, или 2 корень из (x) плюс 6 корень из (x) =15. Тогда  корень из (x) = дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби , откуда x= дробь: числитель: 225, знаменатель: 64 конец дроби .

 

2. Если точка C лежит на продолжении отрезка AB (см. рис.), то CB − AC = AB, или 6 корень из (x) минус 2 корень из (x) =15. Тогда  корень из (x) = дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби , откуда x= дробь: числитель: 225, знаменатель: 16 конец дроби .

 

3 и 4. Если точка C совпадает с одной из точек A или B, а касание с соответствующей окружностью происходит внутренним образом. Тогда в случае внешнего касания с меньшей окружностью

(x плюс 1) в квадрате =(x минус 1) в квадрате плюс 15 в квадрате ,
откуда x= дробь: числитель: 225, знаменатель: 4 конец дроби .

 

 

В случае касания большей окружностью, (x плюс 9) в квадрате =(x минус 9) в квадрате плюс 15 в квадрате , откуда x= дробь: числитель: 225, знаменатель: 36 конец дроби .

 

 

Ответ:  дробь: числитель: 225, знаменатель: 16 конец дроби ,  дробь: числитель: 225, знаменатель: 64 конец дроби ,  дробь: числитель: 225, знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: 225, знаменатель: 36 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей