Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 507387

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и  синус \angle AOB = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Пусть \angle альфа =\angle AOB. Изобразим две ситуации: когда угол  альфа , острый и когда  альфа  — тупой.

 

Проведём высоту BH и диагональ BD. Отрезок HD равен средней линии. Из прямоугольного треугольника BHD найдём высоту: BH=HD умножить на тангенс \angle BDA=3 тангенс дробь: числитель: \angle альфа , знаменатель: 2 конец дроби . Последнее равенство верно, поскольку вписанный угол BDA в два раза меньше центрального угла AOB. Воспользуемся формулой тангенса половинного угла: BH=3 дробь: числитель: синус альфа , знаменатель: 1 плюс косинус альфа конец дроби .

Если \angle альфа меньше 90 градусов, то  косинус \angle альфа = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби , и BH=3 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби конец дроби =1.

Если \angle альфа больше 90 градусов, то  косинус \angle альфа = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби , и BH=3 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , знаменатель: 1 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби конец дроби =9.

 

Ответ: 1 или 9.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Спрятать решение · ·
Анна Воинова 03.06.2016 16:14

Здесь не рассматривается случай, если центр окружности находится не на трапеции.

Константин Лавров

Видимо вы имеете ввиду ВНЕ трапеции??? Это случай острого угла. Картинка для этого случая не точная.

Константин Буданов 26.11.2016 13:45

Здравствуйте! В условии задачи не указано, что трапеция равнобедренная. А в ходе решения идёт ссылка на условие, которое выполняется только для равнобедренной трапеции (если провести высоту в трапеции, то больший отрезок на большем основании равен средней линии)

Кирилл Колокольцев

Только равнобедренную трапецию можно вписать в окружность.