Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 507395

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Решение.

Обозначим BD=y,BE=z. Тогда по свойству биссектрисы:  дробь, числитель — 3 плюс y, знаменатель — 6 = дробь, числитель — z, знаменатель — 2 и  дробь, числитель — z плюс 2, знаменатель — 6 = дробь, числитель — y, знаменатель — 3 , откуда

 система выражений y плюс 3=3z,z плюс 2=2y конец системы равносильно система выражений  новая строка z= дробь, числитель — 8, знаменатель — 5 , новая строка y= дробь, числитель — 9, знаменатель — 5 . конец системы

Получаем:

AB= дробь, числитель — 18, знаменатель — 5 , BC= дробь, числитель — 24, знаменатель — 5 , косинус B= дробь, числитель — AB в степени 2 плюс BC в степени 2 минус AC в степени 2 , знаменатель — 2AB умножить на BC = дробь, числитель — левая круглая скобка \dfrac{18, знаменатель — 5 правая круглая скобка в степени 2 плюс левая круглая скобка \dfrac{24}{5} правая круглая скобка в степени 2 минус 6 в степени 2 }{2 умножить на \dfrac{18}{5} умножить на \dfrac{24}{5}}=0.

Значит, \angle B=90 в степени circ. Тогда ED в степени 2 =y в степени 2 плюс z в степени 2 = левая круглая скобка \dfrac{8}{5} правая круглая скобка в степени 2 плюс левая круглая скобка \dfrac{9}{5} правая круглая скобка в степени 2 = дробь, числитель — 145, знаменатель — 25 . Откуда DE= дробь, числитель — корень из { 145, знаменатель — } 5}.

 

Ответ: DE= дробь, числитель — корень из { 145, знаменатель — } 5}.

Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Андрей Приходько 15.04.2017 20:55

Извините, конечно, но это определённо не очевидная теорема, которую знает каждый выпускник. Её даже на Википедии сложно найти, не то, чтобы в школьном курсе. Уверен, даже самый лояльный учитель за такое решение больше одного балла не даст.

Константин Лавров

Не знаю, что Вы там и где ищите в Википедии, но теорема эта общеизвестна, входит в обязательную школьную программу и есть в любом приличном учебнике.