Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 507490

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 корень из 2 . Точки М и Т — середины ребер AD и A1B1 соответственно.

а) Докажите, что A_1C_1\perp MT.

б) Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до прямой МТ,

Спрятать решение

Решение.

а) Проекция точки M на плоскость A_1B_1C_1 это середина ребра A_1D_1. Поэтому проекция прямой MT на плоскость A_1B_1C_1 параллельна прямой B_1D_1 по теореме о средней линии. Значит, она перпендикулярна прямой A_1C_1, а тогда, по теореме о трех перпендикулярах, и прямая MT перпендикулярна прямой A_1C_1.

б) Пусть P — середина ребра B_1C_1, а Q — середина ребра AA_1. Заметим, что PMQT — трапеция, так как QT\parallel B_1A\parallel PM.

 

 

Получаем:

TQ=QM=PT= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби B_1A= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из 2AB= дробь: числитель: 2 корень из 2 умножить на корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби =2.

Заметим, что MP=4. Продлим прямые MQ и PT и обозначим точку их пересечения N. В треугольнике MNP QT||MP, QT= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MP значит, QT является средней линией, и T - середина NP. Треугольник MNP - правильный. MT - медиана и высота. Значит, PT - перпендикуляр к MT и искомое расстояние равно PT=2.

 

Ответ: 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Способ нахождения расстояния верен, но получен неверный ответ или решение незакончено.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2