Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.
а) Площадь треугольника A1MB2 в два раза меньше площади треугольника A1MB, поскольку MB = 2MB2, а высота, проведённая из вершины A1, у этих треугольников общая:
Аналогично получаем ещё 5 равенств:
и 
Складывая эти равенства почленно, получаем
б) Обозначим длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC через a, b, c.
Докажем, формулу для квадрата медианы 
Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: 
откуда 
Аналогично доказывается, что 
а 
Отрезок C1A2 — средняя линия треугольника ABM, значит,
Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника
Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна
Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |