Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 507510

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.

Спрятать решение

Решение.

а) Площадь треугольника A1MB2 в два раза меньше площади треугольника A1MB, поскольку MB = 2MB2, а высота, проведённая из вершины A1, у этих треугольников общая:

S_A_1MB=2S_A_1MB_2.

Аналогично получаем ещё 5 равенств:

S_A_1MC=2S_A_1MC_2, S_B_1MC=2S_B_1MC_2, S_B_1MA=2S_B_1MA_2, S_C_1MA=2S_C_1MA_2 и S_C_1MB=2S_C_1MB_2.

Складывая эти равенства почленно, получаем

S_ABC=2S_A_1C_2B_1A_2C_1B_2.

б) Обозначим длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC через a, b, c.

Докажем, формулу для квадрата медианы AA_1 в степени 2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (2b в степени 2 плюс 2c в степени 2 минус a в степени 2 ). Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: 2b в степени 2 плюс 2c в степени 2 =a в степени 2 плюс 4AA_1 в степени 2 , откуда AA_1 в степени 2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (2b в степени 2 плюс 2c в степени 2 минус a в степени 2 ). Аналогично доказывается, что BB_1 в степени 2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (2a в степени 2 плюс 2c в степени 2 минус b в степени 2 ), а CC_1 в степени 2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби (2a в степени 2 плюс 2b в степени 2 минус c в степени 2 ).

Отрезок C1A2 — средняя линия треугольника ABM, значит,

C_1A_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби BB_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BB_1.

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника

ABC : B_2C_1=B_1C_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AA_1, A_2B_1=A_1B_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби CC_1.

Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

2 умножить на (B_1C_2 в степени 2 плюс A_1C_2 в степени 2 плюс A_1B_2 в степени 2 )= дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби (AA_1 в степени 2 плюс BB_1 в степени 2 плюс CC_1 в степени 2 )=

= дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на (2b в степени 2 плюс 2c в степени 2 минус a в степени 2 плюс 2a в степени 2 плюс 2c в степени 2 минус b в степени 2 плюс 2a в степени 2 плюс 2b в степени 2 минус c в степени 2 )=

= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 18 умножить на 3 умножить на (a в степени 2 плюс b в степени 2 плюс c в степени 2 )= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на (a в степени 2 плюс b в степени 2 плюс c в степени 2 ).

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем  дробь: числитель: 63, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 63, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 505536: 507510 511416 511440 515828 Все

Методы геометрии: Свойства медиан