СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 507510

Ме­ди­а­ны AA1, BB1 и CC1 тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Точки A2, B2 и C2 — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и MC со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A1B2C1A2B1C2 вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.

Ре­ше­ние.

а) Пло­щадь тре­уголь­ни­ка A1MB2 в два раза мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка A1MB, по­сколь­ку MB = 2MB2, а вы­со­та, про­ведённая из вер­ши­ны A1, у этих тре­уголь­ни­ков общая:

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем ещё 5 ра­венств:

и

Скла­ды­вая эти ра­вен­ства почлен­но, по­лу­ча­ем

б) Обо­зна­чим длины сто­рон BC, AC, AB тре­уголь­ни­ка ABC через a, b, c.

До­ка­жем, фор­му­лу для квад­ра­та ме­ди­а­ны Для до­ка­за­тель­ства на про­дол­же­нии от­рез­ка AA1 за точку A1 от­ло­жим от­ре­зок A1P = AA1. По­лу­чим па­рал­ле­ло­грамм ACPB со сто­ро­на­ми AC = PB = b и AB = CP = c и диа­го­на­ля­ми BC = a и AP = 2AA1. Сумма квад­ра­тов диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма равна сумме квад­ра­тов его сто­рон: от­ку­да Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что а

От­ре­зок C1A2 — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABM, зна­чит,

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, мы по­лу­чим, что сто­ро­ны ше­сти­уголь­ни­ка втрое мень­ше ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка

Сле­до­ва­тель­но, сумма квад­ра­тов сто­рон ше­сти­уголь­ни­ка равна

Под­став­ляя в эту фор­му­лу длины сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC, по­лу­ча­ем

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 505536: 507510 515828 511416 511440 Все

Методы геометрии: Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Правильный шестиугольник