Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит А.
Наименьшее общее кратное чисел, составляющих множество А — 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Поэтому числа, составляющие множество А — это делители 210. Всего делителей 16:
1, 2, 3, 5, 7, 2 · 3, 2 · 5, 2 · 7, 3 · 5, 3 · 7, 5 · 7, 2 · 3 · 5, 2 · 3 · 7, 2 · 5 · 7, 3 · 5 · 7, 2 · 3 · 5 · 7.
Каждый делитель содержит не более одного множителя 2. А произведение всех чисел из А делится 1920 = 27 · 3 · 5. Поэтому среди чисел, составляющих А, должно быть, по крайней мере семь четных, а всего их восемь:
2, 2 · 3, 2 · 5, 2 · 7, 2 · 3 · 5, 2 · 3 · 7, 2 · 5 · 7, 2 · 3 · 5 · 7
Если число 2 входит в А, то любое другое число из А должно делится на 2. Значит,
А={2, 6, 10, 14, 30, 42, 70, 210},
но произведение этих чисел равно 28 · 34 · 54 · 74 = (24 · 32 · 52 · 72)2.
Значит, 2 не входит в А, а числа
2 · 3, 2 · 5, 2 · 7, 2 · 3 · 5, 2 · 3 · 7, 2 · 5 · 7, 2 · 3 · 5 · 7
входят в А, но их всего семь. Поэтому этот набор нужно расширить, добавив делители 210, не взаимно простые со всеми указанными семью числами. Такой делитель всего один — 3 · 5 · 7.
Ответ: А = {6, 10, 14, 30, 42, 70, 105, 210}
В условии нужно указать, что это множество состоит из РАЗНЫХ натуральных чисел. Иными словами числа в этом множестве не должны повторяться. Судя по решению это подразумевается, но в условии это не написано.
В классической теории множеств элементы конечного множества не повторяются, а просто перечисляются. В решении задачи нигде не используется различны или нет числа.