Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 507624

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

\left||x в квадрате минус 6x плюс 5| минус x в квадрате плюс 6x минус 13| меньше a минус a в квадрате минус (x минус 2) в квадрате плюс 2x минус 4

имеет единственное целое решение.

Спрятать решение

Решение.

Пусть x в квадрате минус 6x плюс 5=y, тогда y\geqslant минус 4, при этом, если x — целое, то y — также целое число.

Неравенство имеет вид ||y| минус y минус 8| плюс y меньше минус a в квадрате плюс a минус 3. Построим график функции f(y)=||y| минус y минус 8| плюс y при y\geqslant минус 4, находим, что эта функция монотонно возрастает. Следовательно, если y_0 является решением неравенства при некотором a, то все y меньше y_0 также являются решениями.

Значит, если есть решение y_0\geqslant минус 3, то целые числа −4 и −3 также будут решениями, и тогда будет, по крайней мере, три решения данного неравенства: x=2,3,4. Следовательно,  минус 4 меньше или равно y меньше минус 3, и, стало быть,  минус 4 меньше или равно f(y) меньше минус 1. Значит, должно выполняться двойное неравенство:  минус 4 меньше минус a в квадрате плюс a минус 3 меньше или равно минус 1, откуда

 система выражений  новая строка a в квадрате минус a минус 1 меньше 0, новая строка a в квадрате минус a плюс 2 больше или равно 0. конец системы

Решение первого неравенства:  дробь: числитель: 1 минус корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби . Второе неравенство выполняется при всех a.

 

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 1 минус корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (напрмер, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки.3
Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных ответов потеряна.2
Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Елисей Казанский 03.06.2015 14:41

У Вас тут напутано, -4<-a^2+a-3<=-1, а должно быть -4<=-a^2+a-3<-1 (равносильный переход от функции f(y) к функции g(a)=-a^2+a-3)

Но, поскольку неравенство в исходном уравнении строгое, то в ответе обрезанные верхушки параболы не должны быть включены ( (1-5^1/2)/2 и

(1+5^1/2)/2), у Вас так и есть, но по другой причине!!!

Александр Иванов

У нас верно.

Если по условию f(y) меньше a и единственное целое решение возможно при k меньше или равно f(y) меньше m, то единственное решение будет при k меньше a меньше или равно m (знаки поменялись именно из за строгости условия, ведь при a=k решений не будет)

Гость 14.09.2015 17:32

Откуда взялось y\geq минус 4?

Константин Лавров

Оценена снизу квадратичная функция.

Артем Мартьянов 18.01.2017 00:07

Добрый день!

 

У вас ошибка либо в условии, либо в решении. В самом начале вы делаете замену переменных (вводится y). Но если провести обратную замену, не получится исходного неравенства!

 

Смотрите правую часть, там перед x стоит коэффициент 4, а не 6.

Александр Иванов

У нас верно.

Артем Мартьянов 21.01.2017 12:29

В ответе должен быть отрезок, а не интервал. Если подставить в исходное уравнение, например, левую границу интервала, получим единственное целое решение х=3.

 

 

Ближе к концу вашего решения есть двойное неравенство

-4 <= f(y) < -1

Далее следует строка, в которой почему-то изменилась строгость неравенств.

-4 < -a^2 + a - 3 <= -1

 

Александр Иванов

Артем, если подставить левую (правую) границу интервала, то решений у неравенства не будет вообще.

Объяснение изменения строгости неравенств смотрите выше (в ответе Елисею)