Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 507791
i

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA1B1C1 лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ги­по­те­ну­зой AB, рав­ной 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Вы­со­та приз­мы равна 6.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, со­дер­жа­щая пря­мую AC1 и па­рал­лель­ная пря­мой CB1 про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра A1B1.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми AC1 и CB1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

До­стро­им приз­му до пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с ос­но­ва­ни­ем ACBD и верх­ним ос­но­ва­ни­ем A_1C_1B_1D_1.

а)  Пря­мая AD_1 па­рал­лель­на пря­мой CB_1, по­это­му плос­кость C_1AD_1 || CB_1. A_1C_1B_1D_1  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му его диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют друг друга по­се­ре­ди­не, зна­чит, плос­кость C_1AD_1 про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра A_1B_1.

б)  Пря­мая AD_1 па­рал­лель­на пря­мой CB_1, по­это­му ис­ко­мый угол C_1AD_1. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACB на­хо­дим: AC=8. Зна­чит, AD тоже равно 8. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ACC_1 и ADD_1 по­лу­ча­ем: AC_1=AD_1=10, а диа­го­наль C_1D_1 квад­ра­та A_1C_1B_1D_1 равна 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Из рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка C_1AD_1 по­лу­ча­ем:

\angle C_1AD_1=2 арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: C_1D_1, зна­ме­на­тель: 2AC_1 конец дроби =2 арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

При­ме­ча­ние.

Для на­хож­де­ния угла можно вос­поль­зо­вать­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов:

C_1D_1 в квад­ра­те =AC_1 в квад­ра­те плюс AD_1 в квад­ра­те минус 2AC_1 умно­жить на AD_1 умно­жить на ко­си­нус \angle C_1AD_1 рав­но­силь­но 128=100 плюс 100 минус 2 умно­жить на 10 умно­жить на 10 умно­жить на ко­си­нус \angle C_1AD_1 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но ко­си­нус \angle C_1AD_1= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби .

Ответ: 2 арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби или арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: По­стро­е­ния в про­стран­стве, Пря­мая тре­уголь­ная приз­ма, Угол между пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026