Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 507818

Точки D и E — основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведённых из вершин A и C соответсвенно. Известно, что  дробь, числитель — DE, знаменатель — AC =k, BC = a и AB = b. Найдите сторону AC, если известно, что: а) треугольник остроугольный, б) угол B тупой.

Решение.

1. Решим эту задачу для случая, когда ABC — остроугольный треугольник.

В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники. Поэтому, треугольник ABC подобен треугольнику BDE. Коэффициентом подобия этих треугольников является  дробь, числитель — DE, знаменатель — AC =k. По теореме Пифагора из треугольника BEC

 косинус \angle B= дробь, числитель — BE, знаменатель — BC = дробь, числитель — k умножить на BC, знаменатель — BC =k.

По теореме косинусов из треугольника ABC

AC= корень из { AB в степени 2 плюс BC в степени 2 минус 2 умножить на AB умножить на BC умножить на косинус B}= корень из { a в степени 2 плюс b в степени 2 минус 2abk}

2. Решим эту задачу для случая, когда угол B тупой. Пусть P — точка пересечения его высот.

В остроугольном треугольнике ACH прямые AE и CD являются высотами, следовательно, по свойствам высоты остроугольного треугольника, треугольники ACP и EDP являются подобными с коэффициентом подобия  дробь, числитель — DE, знаменатель — AC =k. Из прямоугольного треугольника AEP

 косинус \angle P= дробь, числитель — EP, знаменатель — PA = дробь, числитель — k умножить на PA, знаменатель — PA =k.

Треугольники AEP и ABD подобны по двум углам, потому что они имеют общий угол A и оба прямоугольные. Следовательно, ∠P = ∠ABD, ∠ABC = 180° − ∠ABD.

 косинус ABC= косинус (180 в степени circ минус \angle ABD)= минус косинус \angle P= минус k.

По теореме косинусов из треугольника ABC

AC= корень из { AB в степени 2 плюс BC в степени 2 минус 2 умножить на AB умножить на BC умножить на косинус ABC}= корень из { a в степени 2 плюс b в степени 2 плюс 2abk}.

 

Ответ:  корень из { a в степени 2 плюс b в степени 2 минус 2abk}, корень из { a в степени 2 плюс b в степени 2 плюс 2abk}.

Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники