Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д18 C7 № 507826

Решите в натуральных числах уравнение  дробь: числитель: 1, знаменатель: m конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби , где m больше n.

Спрятать решение

Решение.

I способ Так как m и n натуральные числа, то для решения задачи требуется решить в натуральных числах уравнение 25n + 25m = mn (1), где m > n.

При n = 25 равенство (1) неверно, поэтому из равенства (1) можно выразить неизвестную m:

m= дробь: числитель: 25n, знаменатель: n минус 25 конец дроби =25 плюс дробь: числитель: 625, знаменатель: n минус 25 конец дроби .

Теперь очевидно, что m является натуральным числом при n > 25 лишь в случаях:

1) n − 25 = 1,

2) n − 25 = 5,

3) n − 25 = 52,

4) n − 25 = 53,

5) n − 25 = 54.

Но при этом условие m > n будет выполнено лишь в случаях: m = 650, n = 26 и m = 150, n = 30.

 

II способ Воспользуемся правилом разложения обыкновенной дроби на сумму двух аликвотных дробей (дробей с числителем 1). Умножим числитель и знаменатель аликвотной дроби на сумму двух взаимно простых делителей её знаменателя. Полученную дробь заменим суммой двух дробей, знаменатели которых равны знаменателю полученной дроби, а числители - слагаемым вышеупомянутой суммы. После сокращения дробей (или одной дроби) получится сумма аликвотных дробей. Если знаменатель исходной дроби составное число, то количество возможных вариантов замены исходной аликвотной дроби суммой двух аликвотных дробей равно числу пар взаимно простых делителей знаменателя исходной дроби. Правомерность этого метода подтверждается следующими преобразованиями.

 дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби = дробь: числитель: a плюс 1, знаменатель: a(a плюс 1) конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: a плюс 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a(a плюс 1) конец дроби ;

 дробь: числитель: 1, знаменатель: ab конец дроби = дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: ab(a плюс b) конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: ab(a плюс b) конец дроби плюс дробь: числитель: b, знаменатель: ab(a плюс 1) конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби b(a плюс b) плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a(a плюс b)) конец дроби .

У знаменателя дроби  дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 25 имеются две пары взаимно простых делителей: 1 и 5; 1 и 25. Следовательно, данная дробь может быть представлена суммой двух аликвотных дробей двумя способами.

 дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 25= дробь: числитель: 5 плюс 1, знаменатель: 25(5 плюс 1) конец дроби = дробь: числитель: 5 плюс 1, знаменатель: 25 умножить на 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 30 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 150;

 дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 25= дробь: числитель: 25 плюс 1, знаменатель: 25(25 плюс 1) конец дроби = дробь: числитель: 25 плюс 1, знаменатель: 25 умножить на 26 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 26 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 650.

 

Ответ: m=150;n=30 или m=650;n=26.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обосновано получен верный ответ.4
Ответ правилен, и конечность перебора обоснована. Однако, при переборе допущены арифметические ошибки или пробелы.3
Ответ правилен и получен конечным перебором. Однако, конечность перебора не обоснована.2
Приведён хотя бы один из правильных наборов, и проверено, что при подстановке в уравнение получается верное числовое неравенство.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 507826: 511500 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства