≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508104

В выпуклом четырехугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD, вторая окружность касается сторон AB, BC и CD.

а) Докажите, что AB || CD;

б) Найдите АС, если r = 2.

Решение.

а) Пусть и — центры первой и второй окружностей соответственно. Через эти точки проведем прямые, перпендикулярные к AB. Пусть К и L — точки пересечения этих прямых с прямой АВ соответственно. Те же прямые пересекут заданные окружности также в точках и (см. рисунок).

Рассмотрим четырехугольник У него две противолежащие стороны и равны 2r. Так как по построению, то Значит, — параллелограмм по признаку параллелограмма.

Кроме того, угол этого параллелограмма прямой по построению, значит, — прямоугольник, т. е. А это значит, что прямая будет касательной к обоим окружностям, следовательно, совпадет с прямой DC.

Таким образом, AB || CD, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим взаимное расположение прямых AD и СВ. Предположим, что они не параллельны. Тогда четырехугольник ABCD — трапеция. (Пусть для определенности см. рис.)

Так как AF проходит через точку (центр первой окружности), то точка расположена на одинаковом расстоянии от AD и AB. А это значит, что как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB, DC и секущей AF. Значит, Отсюда: — равнобедренный, т. е. DA = DF. Аналогично получим: BC = BE.

Проведем через точку касания заданных окружностей прямую перпендикулярно к AB, которая пересечет прямую AB в точке М, прямую DC — в точке N.

Пусть AD = a, BC = b, MN = c. (Ясно, что MN = c = 2r). Также ясно: DC = 2a, AB = 2b.

Четырехугольник DAMN — описанный около первой окружности. Это значит, что AM + DN = AD + MN, т. е.

AM + DN = a + c (1). Аналогично получим: MB + NC = b + c (2). Сложив левые части равенств (1) и (2), будем иметь:

(AM + MB) + (DN + NC) = AB + DC, но AB + DC = 2b + 2a. А сложив правые части тех же равенств, получим:

a + b + 2c. Следовательно, 2a + 2b = a + b + 2c, окончательно: a + b = 2c (*)

Четырехугольник DABC может быть трапецией лишь при выполнении одного из трех условий:

1) ; 2) 3)

Проверим выполнение перечисленных условий.

1) Если a = c, то в соответствии с равенством (*) имеем: не выполняется неравенство b > c.

2) Если b = c, то не выполняется неравенство a > c.

3) Если то не выполняется равенство (*).

Следовательно, равенство (*) будет иметь место только при выполнении равенства a = b = c.

Таким образом, наше предположение, что AD и СВ не параллельны, неверно, четырехугольник DABC трапецией не является. Отсюда вывод: DA || CB, DABC — параллелограмм. При этом равенство (*) опровергнутым быть не может, так как оно получено строго из условия задачи и с помощью известных положений геометрии.

Поскольку из равенства a = b = c следует также: a — расстояние между прямыми AB и DC, DABC — прямоугольник.

Тогда

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86.