СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 508135

Имеется набор гирь со следующими свойствами: 1) в нем есть 5 гирь, попарно различных по весу; 2) для любых двух гирь найдутся две другие гири такого же суммарного веса.

А) Докажите, что в таком наборе обязательно найдутся две гири одинакового веса.

Б) Обязательно ли в таком наборе найдутся четыре гири одинакового веса?

В) Какое наименьшее количество гирь может быть в этом наборе?

Решение.

а) Упорядочим гири по неубыванию веса: Если , то в наборе не найдется двух других гирь с такой же суммарной массой (любая пара других гирь будет тяжелее), значит,

 

б) Продолжим рассуждение из пункта а). Пусть Тогда пара гирь, с такой же суммарной массой может состоять только из гирь точно такой же массы как x_1 и x_2. Таким образом, нашлись четыре гири одинакового веса.

 

в) Аналогично пункту б) Таким образом, чтобы выполнялось условие 1), между и следует расположить по крайней мере еще три гири веса, отличного от веса гирь и Обозначим веса всех гирь в наборе так: Поскольку между гирями веса и нет других гирь, отличающихся по весу от и , а также с учетом того, что - это минимальный вес гири в наборе, то для пары гирь веса и , равной по весу будет только пара гирь веса и Значит, гирь веса в наборе должно быть как минимум 2. Аналогично, гирь веса d в наборе также должно быть как минимум 2. Таким образом, должно быть не меньше Приведем пример: 4 гири веса 1, 2 гири весом 2, 1 гиря весом 3, две гири весом 4 и 4 гири весом 5.

 

Ответ: б) да; в) 13.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92.