СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 508149

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD вы­со­та PO равна а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6. Из точки О на ребро PC опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр ОН. До­ка­жи­те, что пря­мая PC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой DH. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми, со­дер­жа­щи­ми две со­сед­ние бо­ко­вые грани.

Ре­ше­ние.

До­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние: со­еди­ним от­рез­ка­ми вер­ши­ны В и D с точ­кой H.

Ясно, что Вы­чис­лим бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке PHO по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

РН=

Вы­чис­лим BH. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BHD ОН — ме­ди­а­на, сле­до­ва­тель­но, и вы­со­та.

По­ка­жем, что для вы­пол­ня­ет­ся усло­вие тео­ре­мы Пи­фа­го­ра.

Зна­чит, пря­мая Ана­ло­гич­но можно до­ка­зать, что

Итак, ока­за­лось, что пря­мая PC пер­пен­ди­ку­ляр­на ОН (по усло­вию), также пер­пен­ди­ку­ляр­на BH (по толь­ко что до­ка­зан­но­му). Сле­до­ва­тель­но, по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти.

По спо­со­бу по­стро­е­ния и до­ка­зан­но­му выше — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го по­лу­плос­ко­стя­ми, со­дер­жа­щи­ми бо­ко­вые грани PBC и PCD.

Най­дем этот угол по тео­ре­ме ко­си­ну­сов, обо­зна­чив его

Итак, угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми пи­ра­ми­ды ока­зал­ся тупым: А как из­вест­но, за угол между плос­ко­стя­ми, со­дер­жа­щи­ми бо­ко­вые грани PBC и PCD, при­ни­ма­ет­ся наи­мень­ший из углов, ко­то­рые они об­ра­зу­ют при вза­им­ном пе­ре­се­че­нии, по­это­му ис­ко­мым углом будет

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.
Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная пирамида, Угол между плоскостями