СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 508149

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота PO равна а сторона основания равна 6. Из точки О на ребро PC опущен перпендикуляр ОН. Докажите, что прямая PC перпендикулярна прямой DH. Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани.

Решение.

Дополнительное построение: соединим отрезками вершины В и D с точкой H.

Ясно, что Вычислим боковое ребро пирамиды.

В прямоугольном треугольнике PHO по теореме Пифагора:

РН=

Вычислим BH. В равнобедренном треугольнике BHD ОН — медиана, следовательно, и высота.

Покажем, что для выполняется условие теоремы Пифагора.

Значит, прямая Аналогично можно доказать, что

Итак, оказалось, что прямая PC перпендикулярна ОН (по условию), также перпендикулярна BH (по только что доказанному). Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

По способу построения и доказанному выше — линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями, содержащими боковые грани PBC и PCD.

Найдем этот угол по теореме косинусов, обозначив его

Итак, угол между боковыми гранями пирамиды оказался тупым: А как известно, за угол между плоскостями, содержащими боковые грани PBC и PCD, принимается наименьший из углов, которые они образуют при взаимном пересечении, поэтому искомым углом будет

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 95.
Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная пирамида, Угол между плоскостями