Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508151

В треугольнике АВС на сторое ВС выбрана точка К так, что СК : ВК = 1 : 2. Точка Е — середина стороны АВ. Отрезок СЕ и АК пересекаются в точке Р.

а) Докажите, что треугольники ВРС и АРС имеют равные площади.

б) Найдите площадь треугольника АВР, если площадь треугольника АВС равна 120.

Решение.

а) СЕ — медиана треугольника АВС. Следовательно, S(ACE) = S(BCE). Аналогично РЕ — медиана треугольника АВР, S(APE) = S(BPE).

S(ACE) − S(APE) = S(BCE) − S(BPE). Или S(APC) = S(BPC), что и требовалось доказать.

б) Из условия задачи относительно расположении точки К также вытекает:

S(AC)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 S(ABC)=40,S(BP)=2S(CPK).

Если S(CP) = a, то S(BPK) = 2, S(APC) = 3.

Пусть S(APE) = S(BPE) = b. Тогда: S(AC) = 4a = 40, a = 10.

Но S(BCE) = 3a + b = 60. Значит, b = 60 − 3a = 30. В таком случае: S(ABP) = 2b = 60.

 

Ответ: 60.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 95.
Методы геометрии: Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Треугольники