СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 508153

Набор состоит из первых 22 натуральных чисел: 1; 2; 3;…; 21; 22.

А) Какое наибольшее количество чисел этого набора необходимо перемножить, чтобы получить куб натурального числа?

Б) Какое наибольшее количество чисел этого набора необходимо перемножить, чтобы получить квадрат натурального числа?

В) Какое наибольшее количество чисел этого набора необходимо перемножить, чтобы получить квадрат нечетного натурального числа?

Решение.

а) Разложим произведение всех чисел из набора на простые множители: Множители 11,13,17 и 19 входят в разложение в первой или второй степени, поэтому числа 11,13,17,19,22 из не могут входить в искомое произведение. Кроме того, не может входить в произведение хотя бы одно число, кратное 5 (иначе множитель 5 будет входить в четвертой степени и куб не получится). Поэтому чисел из набора в произведении может быть не более 16. Видно, что числа 1,2,3,4,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21 годятся, так как их произведение равно - куб натурального числа.

 

б) По аналогичным соображениям, сразу не подходят числа 13,17,19, кроме того, в разложении есть "лишние" двойка, тройка и семерка. Чтобы избавиться от них необходимо вычеркнуть из набора хотя бы два числа, например 6 и 7 (одним не обойтись, потому что - не входит в набор).

Таким образом, чисел не может быть больше семнадцати. Годятся, например, числа 1,2,3,4,5,8,9,10,11,12,14,15,16,18,20,21,22, так как их произведение равно - квадрат натурального числа.

 

в) Сразу исключим из рассмотрения четные числа, и числа 13,17,19. Останется набор 1,3,5,7,9,11,15,21. Число 11 тоже лишнее, поскольку войдет в разложение только в первой степени. Произведение чисел 1,3,5,7,9,15,21 равно - не является квадратом, поэтому чисел в наборе не более 6. Годятся, например, такие: 1,5,7,9,15,21.

 

Ответ: а) 16; б) 17; в) 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства