СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 508159

А) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные суммы равны 7, 9, 10, 12, 13, 15, 15, 16, 18, 21?

Б) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные суммы равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

В) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные произведения равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

Решение.

а) Обозначим эти числа в порядке неубывания A, B, C, D, E. Сложим все попарные суммы, тогда каждое число войдет в итоговую сумму четыре раза: Получается, что Ясно, что и , тогда

Пусть A=3, B=4. тогда D=9, E=12. Проверкой убеждаемся, что набор 3,4,6,9,12 годится.

 

б) Обозначим эти числа в порядке возрастания A, B, C, D, E. Сложим все попарные суммы, тогда каждое число войдет в итоговую сумму четыре раза: Получается, что нецелое число. Поэтому такой случай невозможен.

 

в) Обозначим эти числа в порядке неубывания A, B, C, D, E. Перемножим все попарные произведения, тогда каждое число войдет в итоговое произведение в четвертой степени: Значит, Заметим еще, что из попарных произведений три являются степенями двойки, значит, и среди чисел A, B, C, D, E три являются степенями двойки. Ни одно из попарных произведений не является степенью тройки, поэтому хотя бы одно из чисел делится и на 2, и на 3. Числа 4, 6, 8, 9 и 16 удовлетворяют всем условиям, и их попарные произведения действительно равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144.

 

Ответ: а) Существуют; б) не существуют; в) существуют

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 96.