СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 508161

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра C1D1, точка P — середина ребра AD, точка M — середина ребра CC1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, P и M.

б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба рано 6.

Решение.

б) Введем декартову систему координат с началом в центре основания ABCD. Выпишем координаты точек K, P и M: K (0; 3; 6), P (3; 0; 0), M (−3; 3; 3).

Составим уравнение секущей плоскости в выбранной системе координат при d = 6.

Значение а подставим во второе уравнение. Получим:

Подставив значение b в уравнение (1), будем иметь: Далее, b = −4 − c = −6. Искомое уравнение имеет вид: −2x − 6y + 2z + 6 = 0 или x + 3yz − 3 = 0. Нормальный вектор плоскости:

Уравнение плоскости нижнего основания куба: z = 0. Нормальный вектор: Косинус угла между нижним основанием куба и секущей плоскостью (обозначим этот угол через ) получим как угол между их нормальными векторами и

Найдем абсциссу точки S пересечения прямой KM с плоскостью (ABCD) из уравнения плоскости сечения при y = 3, z = 0:

Значит,

Аналогично найдем ординату точки N при x = −3, z = 0.

Теперь найдем ординату точки L при x = 3, z = 6.

Нетрудно заметить, что

Ответ: б)
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор стереометрии: Куб, Площадь сечения, Сечение, проходящее через три точки