СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508163

Две окружности касаются внешним образом в точке А. Прямая l касается первой окружности в точке В, а второй — в точке С.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиусы окружностей 8 и 2.

Решение.

а) Пусть O1 — центр окружности, у которой радиус равен 8, O2 — центр другой окружности.

Через точку А проведем общую касательную заданных окружностей, которая пересечет отрезок ВС, скажем, в точке М.

По свойству касательных, проведенных к окружности, будем иметь: MB = MA, MA = MC. А это значит: точки В, А и С равноудалены от точки М, что в свою очередь означает, что является вписанным в некоторую окружность опирающимся на ее диаметр ВС, т.е. что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим прямоугольную трапецию (Здесь радиусы окружностей и окажутся параллельными как два перпендикуляра к прямой l.Соединим отрезком и который пройдет через точку А.

Проведем из точки А перпендикуляр к отрезку ВС, основание перпендикуляра обозначим К.

Ясно, что

Проведем отрезок

— прямоугольник,

В прямоугольном треугольнике Значит,

Найдем СК по теореме Фалеса. (СК есть высота проведенная к продолжению стороны

(Отрезок ВК равен высоте проведенной к

 

Ответ: б) 12,8.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.