СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 508173

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD боковое ребро PA = 6, а сторона основания Через вершину А перпендикулярно боковому ребру PC проведена плоскость.

а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.

б) Найдите площадь полученного сечения.

Решение.

а) Проведем диагонали основания, их пересечение обозначим H.

Проведем высоту PH пирамиды.

Построим последовательно:

1) Точку

2) Отрезок — точка пересечения и

3)

4) Отрезки

Фигура AMNL — искомое сечение. Докажем это.

Во-первых, плоскость (AMN) — обозначим ее — проходит через две пересекающиеся прямые AN и ML, лежащие на плоскости следовательно, такая плоскость единственна.

Во-вторых: ясно, что Отсюда: — равносторонний. В нем AN — медиана (по построению), следовательно, и его высота, то есть

CH — проекция наклонной PC на основание пирамиды, (по свойству квадрата), в таком случае по теореме о трех перпендикулярах Поскольку (по построению), Таким образом, оказалось, что прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым и лежащим на плоскости Значит, — по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

б) Точка О — точка пересечения медиан AN и PH треугольника APC, откуда:

Из параллельности ML и BD следует: Значит, Заметим, теперь, что треугольники ALM и MLN — равнобедренные, следовательно,

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой