Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 10 № 508870

Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что поскольку в турнире участвуют 16 игроков, всего будет четыре тура, в каждом из которых будут играть 16, 8, 4 и 2 человека соответственно. Пусть событие A — Иван с Алексеем сыграли друг с другом в первом туре, событие B — они не сыграли друг с другом в первом туре, но выиграли свои игры в первом туре и встретились во втором, событие C — они не сыграли друг с другом в первом и втором туре, но выиграли свои игры в первом и втором туре и встретились в третьем, D — они не сыграли друг с другом в первом, втором и третьем туре, но выиграли свои игры в первом, втором и третьем туре и встретились в четвёртом.

Вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в первом туре, равна P(A)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби . Вероятность события, при котором Иван с Алексеем не сыграли друг с другом в первом туре, но оба выиграли в первом туре и встретились во втором туре, равна

P(B)= дробь: числитель: 14, знаменатель: 15 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби .

Аналогично, вероятность события C:

P(C)= дробь: числитель: 14, знаменатель: 15 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 60 конец дроби .

Осталось найти вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в четвёртом туре:

P(D)= дробь: числитель: 14, знаменатель: 15 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 120 конец дроби .

Теперь найдём искомую вероятность:

P=P(A) плюс P(B) плюс P(C) плюс P(D)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 60 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 120 конец дроби = дробь: числитель: 8 плюс 4 плюс 2 плюс 1, знаменатель: 120 конец дроби =0,125.

Ответ: 0,125.

 

Приведем другое решение.

В первом туре турнира участвуют 16 игроков, разбить их на произвольные пары можно  дробь: числитель: 16 умножить на 15, знаменатель: 2 конец дроби = 120 способами. Пусть n — число всех возможных вариантов прохождения игр турнира. В первом туре встречаются 8 пар игроков, поэтому во всех возможных n вариантах первого тура может быть 8n пар. Все эти пары равновозможны, поэтому вероятность того, что одну из них составляют два выбранных игрока равна  дробь: числитель: 8n, знаменатель: 120n конец дроби , то есть  дробь: числитель: 8, знаменатель: 120 конец дроби .

Если выбранные игроки не встретились в первом туре, они могут встретиться во втором. В нем примут участие 4 команды, вероятность встречи игроков равна  дробь: числитель: 4n, знаменатель: 120n конец дроби или  дробь: числитель: 4, знаменатель: 120 конец дроби .

В третьем туре примут участие 4 человека, из них можно составить две пары, в четвертой игре участвуют 2 человека, пара только одна; искомые вероятности суть  дробь: числитель: 2n, знаменатель: 120n конец дроби и  дробь: числитель: n, знаменатель: 120n конец дроби соответственно.

Перечисленные события несовместны, поэтому искомая вероятность равна  дробь: числитель: 8 плюс 4 плюс 2 плюс 1, знаменатель: 120 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .

 

Решим задачу в общем виде.

Пусть в турнире по олимпийской системе (игра навылет, плей-офф) участвуют n игроков (n — степень двойки, всего в турнире проводится n −1 игра). Разбить n игроков на произвольные пары можно k = дробь: числитель: n(n минус 1), знаменатель: 2 конец дроби способами. Для каждого возможного турнира построим дерево игр, в вершинах которого укажем имена двух встретившихся в соответствующей игре игроков. Любая пара игроков в турнире может сыграть друг с другом не больше одного раза. Выберем один из турниров, рассмотрим событие, состоящее в том, что двое наперед выбранных игроков встретились в первой игре первого тура. Вероятность этого события равна 1/k, то есть  дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби n(n минус 1). Выбираем вторую игру первого тура, третью и так далее до последней n −1 -ой игры последнего тура. Эти события равновероятны и несовместны, а потому искомая вероятность их суммы равна (n минус 1) умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби n(n минус 1) = дробь: числитель: 2, знаменатель: n конец дроби .


Аналоги к заданию № 508870: 508871 508872 508873 508874 508875 Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 6.3.1 Вероятности событий
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Михаил Иофе 16.03.2022 01:35

Кажется, что приведённое решение не является оптимальным. Особенно, если пытаться решать таким образом, в случае 50 участников. Гораздо проще сказать, что до начала жеребьёвки все пары соперников равновероятны. Всего за турнир будет сыграно 8 + 4 + 2 + 1 = 15 игр. Всего возможных пар 16*15 / 2. Таким образом, искомая вероятность: 15 *2 / (16*15) = 1/8 = 0, 125

Служба поддержки

Деление числа пар на число игр противоречит классическому определению вероятности. Числитель и знаменатель в формуле P(A) = дробь: числитель: m, знаменатель: n конец дроби должны быть количествами элементов множества элементарных событий (либо множества пар, либо, возможно, множества игр, но не пар и игр одновременно).

Наталья Жукова 24.04.2022 17:14

Хотелось бы дать более легкое решение. В турнире 16 игроков. Значит, возможное количество пар 16*15/2= 120. Выиграл в турнире 1 игрок, а 15 проиграли. Значит, было сыграно 15 партий. Встретиться можно только во время одной из партий. Значит, вероятность встречи 15/120= 0,125.

Служба поддержки

Всего возможных пар участников, действительно, 120. Искомой вероятностью было бы количество пар, в которых участники гарантированно встречаются друг с другом к общему количеству пар игроков. Но 15 − это общее количество сыгранных игр, а не количество пар, в которых участники встречаются.