Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Заметим, что поскольку в турнире участвуют 16 игроков, всего будет четыре тура, в каждом из которых будут играть 16, 8, 4 и 2 человека соответственно. Пусть событие A — Иван с Алексеем сыграли друг с другом в первом туре, событие B — они не сыграли друг с другом в первом туре, но выиграли свои игры в первом туре и встретились во втором, событие C — они не сыграли друг с другом в первом и втором туре, но выиграли свои игры в первом и втором туре и встретились в третьем, D — они не сыграли друг с другом в первом, втором и третьем туре, но выиграли свои игры в первом, втором и третьем туре и встретились в четвёртом.
Вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в первом туре, равна 
Вероятность события, при котором Иван с Алексеем не сыграли друг с другом в первом туре, но оба выиграли в первом туре и встретились во втором туре, равна
Аналогично, вероятность события C:
Осталось найти вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в четвёртом туре:
Теперь найдём искомую вероятность:
Ответ: 0,125.
Приведем другое решение.
В первом туре турнира участвуют 16 игроков, разбить их на произвольные пары можно 
способами. Пусть n — число всех возможных вариантов прохождения игр турнира. В первом туре встречаются 8 пар игроков, поэтому во всех возможных n вариантах первого тура может быть 8n пар. Все эти пары равновозможны, поэтому вероятность того, что одну из них составляют два выбранных игрока равна 
то есть 
Если выбранные игроки не встретились в первом туре, они могут встретиться во втором. В нем примут участие 4 команды, вероятность встречи игроков равна 
или 
В третьем туре примут участие 4 человека, из них можно составить две пары, в четвертой игре участвуют 2 человека, пара только одна; искомые вероятности суть 
и 
соответственно.
Перечисленные события несовместны, поэтому искомая вероятность равна 
Решим задачу в общем виде.
Пусть в турнире по олимпийской системе (игра навылет, плей-офф) участвуют n игроков (n — степень двойки, всего в турнире проводится n −1 игра). Разбить n игроков на произвольные пары можно 
способами.
Выбираем вторую игру первого тура, третью и так далее до последней n −1 -ой игры последнего тура. Эти события равновероятны и несовместны, а потому искомая вероятность их суммы равна 
Кажется, что приведённое решение не является оптимальным. Особенно, если пытаться решать таким образом, в случае 50 участников. Гораздо проще сказать, что до начала жеребьёвки все пары соперников равновероятны. Всего за турнир будет сыграно 8 + 4 + 2 + 1 = 15 игр. Всего возможных пар 16*15 / 2. Таким образом, искомая вероятность: 15 *2 / (16*15) = 1/8 = 0, 125
Деление числа пар на число игр противоречит классическому определению вероятности. Числитель и знаменатель в формуле
должны быть количествами элементов множества элементарных событий (либо множества пар, либо, возможно, множества игр, но не пар и игр одновременно).
Хотелось бы дать более легкое решение. В турнире 16 игроков. Значит, возможное количество пар 16*15/2= 120. Выиграл в турнире 1 игрок, а 15 проиграли. Значит, было сыграно 15 партий. Встретиться можно только во время одной из партий. Значит, вероятность встречи 15/120= 0,125.
Всего возможных пар участников, действительно, 120. Искомой вероятностью было бы количество пар, в которых участники гарантированно встречаются друг с другом к общему количеству пар игроков. Но 15 − это общее количество сыгранных игр, а не количество пар, в которых участники встречаются.