СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 508937

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина высоты, опущенной из вершины S на основание ABCD, равна Через точку касания с боковой гранью SAB вписанного в эту пирамиду шара параллельно прямой АВ проведена плоскость, проходящая через ближайшую к вершине S точку шара.

а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.

б) Найдите площадь сечения, если АВ =

Решение.

а) Отметим середины AB и CD (назовем их E и F) и проведем плоскость через них и точку S. Сечение сферы этой плоскостью дает окружность, вписанную в соответствующий треугольник. Построим отдельно копию этого треугольника его вписанную окружность, отметим ее "верхнюю" точку (ближайшую к ) построим прямую, проходщую через точку касания окружности со стороной и эту точку (назовем ее Она пересечет в некоторой точке

Теперь на исходном рисунке отметим точку K, делящую SF в том же отношении, в котором делит Проведем через нее прямую, параллельную CD, через исходную точку касания — прямую, параллельную AB, отметим их точки пересечения с боковыми ребрами и соединим. Полученная трапеция и будет сечением.

 

б) Сразу отметим, что прямая, соединяющая точку K с точкой касания лежит в плоскости SEF, перпендикулярной AB, поэтому будет высотой в трапеции. Основания же трапеции относятся к стороне квадрата так же, как отрезки от S до точки касания или до K относятся к апофемам SE и SF. Теперь перейдем к вычислениям.

В треугольнике SEF имеем Поэтому треугольник равносторонний, вписанная окружность касается SE в середине SE (назовем ее L), а точка, ближайшая к S и лежащая на окружности (назовем ее ) делит высоту пирамиды в отношении считая от S.

Проведем медиану ET. Она делит высоту пирамиды в отношении считая от вершины (пусть в точке O). Поэтому прямая является средней линией в треугольнике ESO, то есть она параллельна ET. Значит, K — середина ST, то есть

Наконец, Значит, площадь сечения равна

 

Ответ:

Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Площадь сечения, Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная пирамида, Шар