Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 509322

Решите неравенство  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: x минус 1 конец дроби правая круглая скобка 5 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка 5.

Спрятать решение

Решение.

Неравенство имеет смысл при  дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 и  дробь: числитель: x, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше 0. Первое неравнство верно при x больше 0. При этих значениях переменной числитель дроби во втором неравенстве положителен, значит, положителен и знаменатель. Следовательно, x больше 1.

Заметим, что  дробь: числитель: x, знаменатель: x минус 1 конец дроби = 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 1 конец дроби . При x больше 1 эта сумма больше 1. Тогда и основание, и аргумент выражения  логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: x минус 1 конец дроби правая круглая скобка 5 больше 1, а значит, левая часть исходного неравенства положительна. Тогда положительна и правая часть, откуда x больше 2.

При x больше 2 обе части неравенства положительны, а аргументы логарифмов равны и больше 1. Значит, основание логарифма, стоящего в левой части неравенства, не меньше основания логарифма, стоящего в правой. На луче  левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка имеем:

 дробь: числитель: x, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 больше или равно x минус 1 равносильно x меньше или равно 3.

Тем самым, 2 меньше x меньше или равно 3.

 

Ответ:  левая круглая скобка 2;3 правая квадратная скобка .

 

Примечание.

В решении использованы известные свойства логарифмов: если a, b, с больше 1, то:  логарифм по основанию a b больше 0 и  логарифм по основанию a c меньше или равно логарифм по основанию b c равносильно a больше или равно b.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 509322: 511267 509343 Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.2 Рациональные неравенства