Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 509472
i

Че­ты­ре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга. Най­ди­те вы­со­ту ко­ну­са, со­дер­жа­ще­го эти сферы так, что все они ка­са­ют­ся бо­ко­вой по­верх­но­сти и три из них  — ос­но­ва­ния ко­ну­са.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть дан­ные сферы с цен­тра­ми O1, O2 и O3 ка­са­ют­ся ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной A, а центр O4 четвёртой сферы лежит на вы­со­те ко­ну­са, рав­ной H. Рас­смот­рим пра­виль­ный тет­ра­эдр O1O2O3O4, ребро ко­то­ро­го равно 2. Если h  — его вы­со­та, а α  — угол между вы­со­той O4M и бо­ко­вым реб­ром, то

h = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та , синус альфа = дробь: чис­ли­тель: O_2M, зна­ме­на­тель: O_1O_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Пусть сфера с цен­тром O4 ка­са­ют­ся бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са в точке B. Тогда O4B ⊥ AB и

AO_4 = дробь: чис­ли­тель: O_1B, зна­ме­на­тель: синус альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = ко­рень из 3 .

Сле­до­ва­тель­но, H=1 плюс h плюс O_4A=1 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из 3 .

 

Ответ: 1 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из 3 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Классификатор стереометрии: Ком­би­на­ции круг­лых тел, Конус, Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти, Си­сте­ма шаров, Шар
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026