а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать справа ещё 6 цифр так, чтобы полученное число было квадратом натурального числа?
б) Тот же вопрос про число, начинающееся на 1.
в) Найдите для каждого натурального n такое наименьшее число k, что к любому n-значному числу можно так приписать справа k цифр, чтобы полученное (n + k)-значное число было квадратом натурального числа.
а) Возьмем любое натуральное число N, оканчивающееся нулями, квадрат которого является 12-значным числом, начинающимся с 5, например 
Тогда 
Предыдущий квадрат будет равен 
Значит, натурального числа, квадрат которого имеет 12 знаков и начинается с цифр 562499, не существует.
б) Пусть 
- 12-значное число, начинающееся с единицы, то есть 
Тогда 
Отсюда 
и 
Значит, разница между соседними квадратами меньше миллиона и в последовательности квадратов, лежащих между 
и 
встретятся числа, начинающиеся с любого набора из шести цифр.
в) Докажем, что 
Ясно, что к любым n цифрам можно подписать еще 
цифру так, чтобы полученное число было полным квадратом: ведь на промежутке 
разница между соседними квадратами не превосходит 
Докажем, что 
цифрами обойтись не удастся. Рассмотрим квадрат, предшествующий 
он равен 
(
девятка и ноль). Таким образом, к числу 999..999 (n девяток) нельзя приписать цифр так, чтобы получить точный квадрат. Ясно, что к нему нельзя приписать 
... цифры: соответствующее число слишком близко к 
...Рассмотрим еще квадрат, предшествующий 
он равен 
(
девятки и ноля). Таким образом, к числу 3999...997 (всего n цифр) нельзя приписать (а также 
...) цифр, чтобы получился точный квадрат. В итоге получается, что
Ответ: а) нет; б) да; в) 