а)  Угол BTC впи­сан в окруж­ность, а угол BOC  — со­от­вет­ству­ю­щий ему цен­траль­ный угол. Сле­до­ва­тель­но, ∠BOC  =  2∠BTC.

б)  Из усло­вия ка­са­ния окруж­но­сти и сто­ро­ны AD сле­ду­ет, что пря­мые OT и AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Пусть окруж­ность вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке L и сто­ро­ну CD  — в точке M. Тогда диа­метр окруж­но­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ный сто­ро­не AB, делит каж­дую из хорд BL и CM по­по­лам. Обо­зна­чим OT  =  r, тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей  Сле­до­ва­тель­но,

Ана­ло­гич­но

Из тео­ре­мы си­ну­сов сле­ду­ет, что BC = 2r · sin ∠BTC. Пусть h  — ис­ко­мое

рас­сто­я­ние от точки T до пря­мой BC . Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка BTC двумя спо­со­ба­ми:

От­сю­да по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 6.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что AL боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти, а DC мень­ше диа­мет­ра, по­это­му DC < 2AL. В дан­ной за­да­че АВ  =  4, CD  =  9, по­это­му точка В лежит на от­рез­ке AL. При дру­гих чис­ло­вых дан­ных точка В может ле­жать на про­дол­же­нии от­рез­ка АL за точку L. При­ве­ден­ное ре­ше­ние оста­ет­ся вер­ным и для та­ко­го слу­чая.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Сер­гей Ни­ко­ла­е­ва.

Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых AD и ВC, точка S  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки T на пря­мую BC. Тре­уголь­ни­ки DKC и AKB по­доб­ны по двум углам, по­это­му По тео­ре­ме об от­рез­ках се­ку­щей тогда и Тре­уголь­ни­ки KTS и KCD по­доб­ны по двум углам, по­это­му от­ку­да

Еще один спо­соб ре­ше­ния

при­ве­ден нами на сайте Решу ОГЭ в за­да­нии 340855.