Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 509825

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

 система выражений y(y минус 7)=xy минус 5(x плюс 2),x меньше или равно 6, дробь: числитель: a(x минус 6) минус 2, знаменатель: y минус 2 конец дроби = 1. конец системы .

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

y(y минус 7)=xy минус 5(x плюс 2) равносильно y в квадрате минус (x плюс 7)y плюс 5(x плюс 2)=0 равносильно совокупность выражений y=5,y=x плюс 2. конец совокупности .

Тогда исходная система равносильна следующей смешанной системе:

 система выражений совокупность выражений y=5,y=x плюс 2, конец системы . y=a(x минус 6),x меньше или равно 6, y не равно 2. конец совокупности .

Построим её график и определим, при каких значения параметра пучок прямых y=a(x минус 6) имеет единственную общую точку с объединением двух лучей y=5 и y=x плюс 2 при условиях x меньше или равно 6, y не равно 2 (см. рис.)

 

Ответ: a принадлежит [0;1)\cup \left\ минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: ЕГЭ по математике 2015. Досрочная волна, резервная волна (часть С)
Классификатор алгебры: Комбинация прямых
Методы алгебры: Группировка
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Владислав Молодцов 28.03.2017 13:08

прямая у=5 определена лишь до х=6, значит при больших положительных а будет пересечение лишь с прямой у=х+2, то есть будет одно решение, как нам и нужно. значит в ответе должен быть промежуток от 0 до +беск.

Александр Иванов

То есть по Вашему после х=6 прямой y=5 нет, а прямая y=x+2 есть?

Владислав Молодцов 28.03.2017 13:33

она есть до х=6 и пересекается с нашей прямой при больших а.

Александр Иванов

При а>1 пересечений нет