ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 509825 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$система выражений y левая круглая скобка y минус 7 правая круглая скобка =xy минус 5 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка ,x меньше или равно 6, дробь: числитель: a левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка минус 2, знаменатель: y минус 2 конец дроби = 1. конец системы .$

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

$y левая круглая скобка y минус 7 правая круглая скобка =xy минус 5 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка равносильно y в квадрате минус левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка y плюс 5 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений y=5,y=x плюс 2. конец совокупности .$

Тогда исходная система равносильна следующей смешанной системе:

$система выражений совокупность выражений y=5,y=x плюс 2, конец системы . y=a левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка ,x меньше или равно 6, y не равно 2. конец совокупности .$

Построим её график и определим, при каких значения параметра пучок прямых $y=a левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка$ имеет единственную общую точку с объединением двух лучей $y=5$ и $y=x плюс 2$ при условиях $x меньше или равно 6, y не равно 2$ (см. рис.).

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Источник: ЕГЭ по математике 21.04.2015. Досрочная волна, резервный день (часть 2)

Классификатор алгебры: Комбинация прямых

Методы алгебры: Группировка

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Владислав Молодцов 28.03.2017 13:08

прямая у=5 определена лишь до х=6, значит при больших положительных а будет пересечение лишь с прямой у=х+2, то есть будет одно решение, как нам и нужно. значит в ответе должен быть промежуток от 0 до +беск.

Александр Иванов

То есть по Вашему после х=6 прямой y=5 нет, а прямая y=x+2 есть?

Владислав Молодцов 28.03.2017 13:33

она есть до х=6 и пересекается с нашей прямой при больших а.

Александр Иванов

При а>1 пересечений нет