СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 509932

Последовательность a1, a2, ..., an, ... состоит из натуральных чисел, причём при всех натуральных n.

а) Может ли выполняться равенство 5a5 = 9a4?

б) Может ли выполняться равенство 5a5 = 7a4?

в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство

Решение.

а) Пусть a1 = 3 и a2 = 1. Тогда a3 = 3 + 1 = 4, a4 = 1 + 4 = 5, a5 = 4 + 5 = 9 и 5a5 = 9a4.

б) Предположим, что 5a5 = 7a4. Тогда a5 = 7a и a4 = 5a, где Имеем a3 = a5 − a4 = 2a, a2 = a4 − a3 = 3a и a1 = a3 − a2 = − a < 0. Получаем противоречие.

в) Пример последовательности 3, 3, 6, 9, 15, 24,... показывает, что равенство может выполняться при n = 5. Действительно, для такой последовательности выполнены условия задачи и 15a6 = 24a5.

Пусть n ≥ 6 и Положим Тогда an = 3na и Имеем

Так как an − 4 > 0 , то n2 − 5n − 1 < 0. Следовательно, n < 6. Полученное противоречие показывает, что при n ≥ 6 равенство выполняться не может.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) при n = 5.

 

 

Приведём идею решения п. в) Леонида Колмогорцева.

Если равенство выполняется то откуда в силу того, что после почленного деления получаем:

 

Левая часть полученного равенства меньше 2 для всех n, так как Правая часть равенства является возрастающей функций от n. Поэтому решениями неравенства могут быть только такие значения переменной, для которых правая часть меньше 2. Следовательно, . Далее рассмотрим возможность существования решения при и аналогично пунктам а) и б).


Аналоги к заданию № 509932: 509585 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии, Последовательности и прогрессии
Спрятать решение · ·
Леонид Колмогорцев 30.01.2018 21:41

Более простое решение для пункта в).

Если равенство выполняется то аn+1/an=(n*n-1)/3n. Тк an+1=an+an-1 то левая часть равенства после почленного деления строго меньше 2 тк an-1<an. Правая часть равенства - возрастающая функция от n. При решении неравенства получим ограничение сверху по n<=6. Далее рассмотрим возможность существования решения при п=6 n=5 и тд аналогично пугктам а) и б).

Служба поддержки

Добавили в решение.