СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 510077

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение.

Пусть исходные числа равны и пусть суммы цифр, стоящих в разряде единиц и десятков, соответственно и

а) Решим систему уравнений:

Примером исходного набора чисел может быть 70 двузначных чисел, заканчивающихся единицей, сумма десятков которых дает 290. Например, это 68 чисел 41 и два числа 91 или 50 чисел 51 и 20 чисел 21. Ещё пример (его можно построить, обратив внимание, что сумма десятков примерно в 4 раза больше суммы единиц): 32 раза число 92 и число 26.

б) Решим систему уравнений:

Поскольку нулей в записи чисел нет, сумма цифр, стоящих в разряде единиц, не меньше количества чисел. Тем самым, чисел не больше 30. Но тогда сумма цифр, стоящих в разряде десятков, не может быть больше 270. Противоречие.

Иначе: поскольку в записи нет нулей, а цифры в разряде десятков не превышают 9, справедливы соотношения: то есть что противоречит полученной системе, в которой

в) Требуется определить, для какого наименьшего S имеет решения система уравнений

Из полученной системы следует, что величина S кратна 9 и 11 то есть кратна 99. Тогда Тогда

Наименьшему значению соответствует наименьшее значение причем из второго уравнения системы ясно, что Улучшим оценку: заметим, что откуда тогда

и, тем самым,

Если то: заданным набором чисел, например, являются 30 чисел 91, 9 чисел 21 и число 51, сумма чисел в наборе равна

 

Ответ: а) например, 32 раза число 92 и число 26, б) нет, в) 693.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 26.03.2015. До­сроч­ная волна, Восток., За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2015
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки