Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 510236
i

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с реб­ром 1. Точка T  — се­ре­ди­на ребра AD.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость A1BT делит объем куба в от­но­ше­нии 1 : 11.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти A1BT.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Найдём объём пи­ра­ми­ды A1ATB, это одна из ча­стей, на ко­то­рые куб де­лит­ся плос­ко­стью A1BT. Он равен

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на AA_1 умно­жить на S_ATB = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ,

по­это­му объём вто­рой части куба равен 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби . От­сю­да ис­ко­мое от­но­ше­ние равно

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби : дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = 1 : 11,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

б)  Пусть h  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Найдём двумя спо­со­ба­ми объём пи­ра­ми­ды A1ATB. С одной сто­ро­ны, из пунк­та а), он равен дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби . С дру­гой сто­ро­ны, он равен дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби h умно­жить на S_A_1TB. Тре­уголь­ник A1BT  — рав­но­бед­рен­ный, его ос­но­ва­ние A1B равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , а бо­ко­вые сто­ро­ны равны дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Если H  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния A1B, то TH = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му S_A_1BT = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Сле­до­ва­тель­но, объём пи­ра­ми­ды A1ATB равен h умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби . При­рав­ня­ем вы­ра­же­ния для объёма:

h умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ,

от­ку­да h = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Классификатор стереометрии: Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти, Куб, Объем тела
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026