СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 510497

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?

в) Сколько в роте может быть солдат?

Решение.

Пусть в первом взводе k солдат, во втором l солдат. Тогда числа k и l имеют общий делитель, больший 7, и при этом:

а) Например, 54 и 63 солдата. Вместе 117, их можно построить в колонну по 9 человек в ряду так, что 6 рядов будет заполнено солдатами только из первого взвода, а 7 рядов — только из второго.

б) Предположим, что общий делитель 11. Тогда, учитывая, что 50 < k < 60, получаем, что k = 55. Наименьшее возможное значение l равно 55 +11= 66, но вместе получается 121 человек, что противоречит условию.

в) Число lk больше нуля и делится на общий делитель чисел k и l, поэтому lk ≥ 8, kl ≤ −8, что вместе с условием k + l ≤ 119 приводит к неравенству 2k ≤ 111, то есть k ≤ 55. При этом k + dl ≤ 119 − k, где d — наименьший общий делитель, превосходящий 7.

Если k = 51 = 3 · 17 , то d = 17, l = 68, а в роте 119 солдат.

Если k = 52 = 4 · 13, то 65 ≤ l ≤ 67. Тогда l = 65, общий делитель 13 и k + l =117.

Если k = 53, то 53 + 53 = 106 ≤ l ≤ 66 . Противоречие.

Если k = 54 = 6 · 9, то 54 + 9 = 63 ≤ l ≤ 65. Тогда l = 63, общий делитель равен 9, и в роте 117 солдат.

Если k = 55 = 5 · 11, то 66 ≤ l ≤ 64, но числа 63 и 64 взаимно просты с 55. Противоречие.

 

Ответ: а) Например, 54 и 63; б) нет; в) 117 и 119.


Аналоги к заданию № 510497: 509164 515673 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки, Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки