Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 510517

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

 система выражений  новая строка y(y плюс 1) меньше или равно 0, новая строка 3x в степени 2 плюс 3y в степени 2 минус 6a(x плюс y) плюс 5a в степени 2 минус 6x плюс 4a плюс 3=0 конец системы .

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Выделим в уравнении системы полные квадраты:

3x в степени 2 минус 6ax плюс 3a в степени 2 плюс 3y в степени 2 минус 6ay плюс 3a в степени 2 минус 6x плюс 4a плюс 3 минус a в степени 2 =0 равносильно

 равносильно 3(x минус a) в степени 2 плюс 3(y минус a) в степени 2 минус 6(x минус a) плюс 3 минус 2a минус a в степени 2 =0.

Ещё раз выделим полный квадрат:

3(x минус a) в степени 2 минус 6(x минус a) плюс 3 плюс 3(y минус a) в степени 2 =a в степени 2 плюс 2a равносильно

 

 равносильно (x минус a минус 1) в степени 2 плюс (y минус a) в степени 2 = дробь, числитель — a в степени 2 плюс 2a, знаменатель — 3 .

Уравнение определяет окружность с центром (a плюс 1;a) и радиусом  корень из { дробь, числитель — a в степени 2 плюс 2a, знаменатель — 3 }. Неравенство y(y плюс 1) меньше или равно 0 определяет горизонтальную полосу  минус 1 меньше или равно y меньше или равно 0. На рисунке видно, что единственное решение получается в двух случаях.

1. Окружность касается полосы внешним образом. Это происходит тогда и только тогда, когда центр расположен вне полосы, а её радиус равен расстоянию от центра до ближайшей границы полосы:

 система выражений  новая строка a меньше минус 1, новая строка (a плюс 1) в степени 2 = дробь, числитель — a в степени 2 плюс 2a, знаменатель — 3 конец системы .или система выражений  новая строка a больше 0, новая строка a в степени 2 = дробь, числитель — a в степени 2 плюс 2a, знаменатель — 3 . конец системы .

откуда

 система выражений  новая строка a меньше минус 1, новая строка 2a в степени 2 плюс 4a плюс 3=0 конец системы . или система выражений  новая строка a больше 0, новая строка 2a в степени 2 минус 2a=0. конец системы .

Первая система не имеет решений. Вторая система имеет решение a =1.

2. Окружность превращается в точку и при этом принадлежит полосе:

 система выражений  новая строка минус 1 меньше или равно a меньше или равно 0, новая строка a в степени 2 плюс 2a=0 конец системы . равносильно a=0.

 

Ответ: 0; 1.


Аналоги к заданию № 509026: 510517 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Уравнение окружности