Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 510547

Найдите все значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства

 корень из 3 минус x плюс |x минус a|\leqslant 2

является отрезок.

Спрятать решение

Решение.

Перепишем неравенство в виде

 корень из 3 минус x\leqslant 2 минус |x минус a|.

Нарисуем эскизы графиков левой y= корень из 3 минус x и правой y=2 минус |x минус a| частей неравенства.

Из рисунка видно, что график правой части неравенства лежит выше левой при a принадлежит ( минус 1, 5). Заметим, что при a=1, решением кроме отрезка становится еще и точка x=3, что противоречит условию.

При дальнейшем увеличении a в решение будет попадать еще один отрезок с правым концом в точке x = 3. Левый конец будет сдвигаться вплоть до случая касания при котором решение снова превратится в один отрезок.

Рассмотрим случай касания:

f'( корень из 3 минус x)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 3 минус x конец дроби = минус 1 равносильно 3 минус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 11, знаменатель: 4 конец дроби ,

тогда

 корень из 3 минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 4 конец дроби =2 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 11, знаменатель: 4 конец дроби минус a правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =2 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 11, знаменатель: 4 конец дроби минус a правая круглая скобка равносильно a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .

Итак, полуинтервал  левая квадратная скобка 1; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка не удовлетворяет условию задачи.

 

Замечание. Точка касания может быть найдена из соображений о том, что график функции y= корень из 3 минус x (полупарабола) и прямая y=2 минус (x минус a) (правый луч графика функции y=2 минус |x минус a|) имеют одну общую точку. Исследуем уравнение  корень из 3 минус x=2 минус (x минус a) при a принадлежит [1;5].

 корень из 3 минус x=2 минус (x минус a) равносильно 3 минус x=(2 минус x плюс a) в степени 2 равносильно x в степени 2 минус (2a плюс 3) плюс a в степени 2 плюс 4a плюс 1=0.

Последнее уравнение будет иметь единственное решение в случае D = 0.

D=(2a плюс 3) минус 4(a в степени 2 плюс 4a плюс 1)= минус 4a плюс 5=0,

откуда a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ: a принадлежит левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; 5 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (напрмер, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки.3
Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных ответов потеряна.2
Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 484643: 510547 511315 Все

Классификатор алгебры: Подвижная галочка
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
a r 24.05.2016 20:52

Замена (x минус 3) в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =t больше или равно 0

задача сводится к t плюс |3 минус t в степени 2 минус a| меньше или равно 2

и решается просто методом областей...

Константин Лавров

Знать бы еще, что такое "метод областей", но такая замена, возможно, упрощает исследование.

Лиза Кронштадская 20.10.2016 15:09

чем Вам а=-1 не угодила? почему в ответ не вошла?

Александр Иванов

при а=-1 решением является точка, а не отрезок