Найдите все значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства
является отрезок.
Запишем неравенство в виде
и нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства. Графиком функции 
является часть параболы, она выделена на рисунке цветом океанской воды. График функции 
при различных значениях параметра получается сдвигом графика функции 
на |а| единиц влево или вправо.
Из рисунка видно, что при 
график правой части неравенства лежит ниже графика левой части, а значит, неравенство не имеет решений. При 
графики имеют единственную общую точку (изображено пурпурным) и неравенство имеет единственное решение. При 
решением неравенства является отрезок. При 
кроме отрезка решением является еще и точка 
(изображено кумачовым), что не подходит по условию. При 
где 
— 
(выделено древесным цветом) решение снова превратится в один отрезок. При 
решение остается отрезком, пока, при 
решением не станет точка (изображено цветом травы). При 
для любых значений переменной из области определения неравенства график модуля лежит ниже графика корня, и неравенство не имеет решений.
Найдем :
в точке касания 
равно угловому коэффициенту касательной, откуда получаем уравнение:
Таким образом, 
или 
Ответ: 
Примечание.
Точка касания может быть найдена и без производной. Действительно, парабола имеет с касательной к ней единственную общую точку, поэтому полупарабола, являющаяся графиком функции 
и прямая 
являющаяся правым лучом графика функции 
имеют ровно одну общую точку. Абсцисса x0 этой точки определяется из уравнения:
Полученное уравнение имеет единственное решение, если его дискриминант
равен нулю, откуда 
Найденному значению параметра соответствует уравнение 
то есть 
откуда определяем абсциссу точки касания 
При возведении в квадрат уравнения 
могли появиться посторонние корни, поэтому необходима проверка. Подставляя найденные значения и x0, находим:
Полученное числовое равенство верно, поэтому при найденном значении параметра действительно происходит касание.
Приведем идею другого решения.
Положим, 
тогда задача сводится к исследованию неравенства
при 
Для решения полученной системы можно применить метод областей.
Заменой
задача сводится к 
и решается просто методом областей...
Такая замена, возможно, упрощает исследование.
Почему а=-1 в ответ не вошла?
при а=-1 решением является точка, а не отрезок