Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 510556

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: AB=21 корень из (3) ,SC=29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и BC.

Спрятать решение

Решение.

Пусть M и N — середины рёбер AS и BC соответственно. Прямая AS проектируется на плоскость основания в прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка M_1 — лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол MNM_1 — искомый. Заметим, что MM_1\parallel SO, где O — центр основания, значит, MM_1 — средняя линия треугольника ASO, а поэтому M_1 — середина AO.

Тогда AM_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби AB= дробь: числитель: 21, знаменатель: 2 конец дроби и M_1N=2AM_1=21. Из прямоугольного треугольника AM_1M находим:

MM_1= корень из (AM в квадрате минус AM_1 в квадрате ) = корень из ( левая круглая скобка дробь: числитель: 29, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 21, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ) = корень из ( левая круглая скобка дробь: числитель: 29, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 29, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ) =

 

= корень из (4 умножить на 25) =10.

Из прямоугольного треугольника MM_1N находим:  тангенс \angle MNM_1= дробь: числитель: MM_1, знаменатель: M_1N конец дроби = дробь: числитель: 10, знаменатель: 21 конец дроби . Значит, искомый угол равен \arctg дробь: числитель: 10, знаменатель: 21 конец дроби .

 

Ответ: \arctg дробь: числитель: 10, знаменатель: 21 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Способ нахождения угла верен, но получен неверный ответ или решение незакончено.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0